私は外国人の主人の名前が既に複合性でした。そこに私の名字を入れると、名字が３つになるので、やめときました

日本では、主人の複合性を使っていましたが、名字が長いためIDや保険証等、名前を入れるものは字数が入らなかったり、スペースを入れることができなかったり。名字の長さにもよりますね！

病院では、名前を呼ばれる度、ただでさえ外国性なので、皆さん振り返るし、受付の方には怪訝そうに見られます。
日本は名字の複合性に対応して無いことが多いです。以上が面倒くさかった点です。

良かった点は、話のきっかけになりやすかったことでしょうか。「え〜？国際結婚してるの？」と、そこからどうやったら知り合ったか等聞かれますが。。仕事場では呼ぶ方も気恥ずかしいらしく、旧姓で通していました。住む場所や仕事内容にもよると思います。外資系や英語に関する仕事なら、履歴書で目に留まりやすいかもです。

ちなみに、ミドルネームに日本性を入れても、日本ではの名前はミドルネームが入れられないので。
ですので、日本では書類等で不便なことが多かったと思います。

私も国際結婚、欧州や複合姓を認めている国では複合姓を使用していますが…
日本や複合姓を認めていない他国在住の時は、日本の姓のみを使っています。
夫は何処の国でも、結婚前の姓のままです（親が離・再婚しても変えていません）。

子は日本では私の姓、他国では夫の姓等と使い分け、それぞれの旅券には（）で併記して貰っています。
その為、どの国でも、私達の子は親のどちらかと姓が全く同じではない状態ですが…
姓が同じか、異なるかで
＞親子関係が証明しやすい
逆に証明し難い等と感じた事、私はありません。
今の時代、親の離婚・再婚等で苗字が変わる・変えない、諸事情から保護者と子の姓が異なる御家庭もあり、姓が同じか？何故、異なるのか？等と聞かれる事は殆どなかったです。愛着関係が構築されている親子なら様子を見れば続柄は何となく予想出来ますし、子が話せる年齢なら子にも関係を確認しますしね。
日本で夫が子の保護者として教育・医療機関に行った事もありますが、姓が異なるからと何か言われた事はないですよ。

＞日本での裁判所での申請
が通ったとしても、一般的には認められていない為、複合姓で出来ない事は多いと思います。
他の方もご指摘の通り
既定の枠内に複合姓が入りきらない
カタカナの場合、フリガナをどうするか？
等で問い合わせし、特別対応して貰う事もありました。
夫の姓はカタカナにすると6文字で、印鑑を作った時は工夫が必要でした。

私は複合姓になって20年以上経ちます。
今は、結婚や出産の時の拘り？意気込み？みたいなものはスッカリ無くなり…
日本の姓、夫の姓だけで呼ばれても、発音が全く違うなぁと感じても「私の事？」と反応出来る様になりました。
子ども達は生まれた時から今の状態なので、違和感なく受け入れている様子です。

最後に、主様の安産・母子の健康を願っています。

そもそも日本では、それ相応の理由がない限り苗字の変更は簡単ではないと思いますし、何より複合姓自体認められてないですね。

＞親子関係が証明しやすいなどの理由から

つまり家族で日本に移住した時に、子供とお父さんの関係が身分証明書でわかるようにしたい、ということですよね。
一番簡単なのは、トピ主さんが旦那さんの苗字（カタカナ）に変更し、家族で旦那さんの苗字を使う方法です。

ただこの方法だと、日本に住んでる日本人なのに先祖から受け継いだ漢字の苗字を失うという残念な結果になってしまうので、旦那さんがトピ主さんの苗字を日本での通名をにするほうが楽かもしれません。
運転免許証にも本名と通名を併記することができるらしいですよ。

あとは子供の出生届はトピ主さんの日本の苗字で届けて、それ以外に夫の苗字の通名も登録するとか。
本名は日本語で通名が英語。
例えばイギリスで10年以上育って、自分の名前は英語の名前だと完全に認識してる状態で日本に来たら、そのままイギリス人として英語の氏名を使いたいと思うかもしれませんよね。その場合は通名を使うほうが自然かもしれません。環境次第ですね。