母の同意がなければ母名義のマンションの売却は法的に無理。10年以上連絡を取ってない娘が突然現れ「お母さんのマンションを私が売却することにしたから委任状にサインを」と言ったら、母は「お母さんはどうせもうよくなくならないしこの施設で死ぬんだから自宅なんて不要でしょう？」と言わたように感じてショックではと心配。

それなりに信頼関係があるなら「管理費などが払えないから」ときちんと説明すれば納得するかもしれないが、住み慣れたマンションに愛着があるのではと思うし、実質無理でも「回復してまた自宅に戻りたい」という願望もあるかもしれない、「もう帰る家も無い、ここで死ぬだけ」という気持ちになるのは辛いかも。うまく納得してくれればいいが。
また、もし母の認知能力が衰えているなら同意が法的に認められず売却は困難。

賃貸に出す場合も母の同意が必要だし、リフォームに金も掛かるだろう、家賃滞納や最悪荷物を置いての夜逃げなどのトラブルの可能性も皆無とは言えず、ヘタすれば収益どころかマイナスの恐れも。

３）相続というのは母が死んでからの話なので、現状、母保有のまま空き家になっているマンションに貴女が引っ越して来るという意味ですよね？
貴女も都内に通勤もしくは住んでいるなら、これまでいとこが代替してくれた諸手続きなどの面倒を今後は実子の貴女が引き受けることが地理的に可能なのでは。

脳梗塞で倒れた時も、その後施設を見つけたり入居できるように手続きすることも、いとこは大変だったのでは。よく礼を言って謝礼もして今後はいとこに迷惑を掛けないように母のことは不仲でも貴女が担当してあげないといけないと思います。

貴女が今賃貸住まいならそこから空き家になっている母のマンションに越して家賃分を浮かせ、その分で固定費や管理費を払うのが現実的だと思います。

実家の始末とお金の完了または算段くらい、義務としてやりましょうね。
相続放棄するから関係ないではないですよ。

いとこか叔父叔母に負担をかけることは止めましょう。

まずはお母様の資産管理しっかりされて、マンション保有が負担なら、家財片付けて売れる状態にする。

お母様の判断能力がどのくらいあるのかわかりませんが、戻れない状態ならば売却を勧めるのが良いと思います。

大手町まで30分なら、最寄り駅の条件しだいですが、今は中古マンションの在庫が少ないので業者が買うかもしれません。実際に知人の40年超えのマンションは業者に買い取ってもらい、リフォーム後早々に売れたそうです。

いとこから連絡があったとのことですが、今後何かあった際にもそのいとこ経由で連絡を取る状態ですか。

連絡を取っていない母親と直接対峙することは可能なんでしょうか。対峙して説得する覚悟あるならば、売却も貸すのも可能かと思われます。

しかし、本人確認が絶対必要だすのでこのまま疎遠にしていたら不可能です。

いとこ喜んでトピ主母の面倒を見ているんですか。もし、迷惑なり負担になり思っているのであれば、トピ主さんは自分の親なので扶養義務があります。きちんといとこに押し付けずに自分で処理してください。

遺産を全部放棄すれば、代わりにいとこがやってくれるのであれば、きちんと正式に書類を作成した後に疎遠にしてください。それくらいの覚悟で対応してください。中途半端にいとこに任せつつ、マンションのお金だけしっかりもらうつもりであれば、あまりにも図々しすぎます。

母親が毒親で大変だったかもしれませんが、いとこや親せきの気持ちも考えてください。

お母さん本人の同意がなければ、売却も賃貸もできないのは皆さんがおっしゃっているとおりです。

ところで、そもそもマンション内にはお母さんのものは何も残っていないんですか？

日本国内に「空き家」が800万戸以上あると言われていますが、いつでも売れる状態にある（他人が住める状態にある）空き家はそんなに多くありません。

もしお母さんのものが部屋の中に残っているのなら、それを片付けるところから始めなければいけません。
（もちろん、お母さんの同意が必要です。）

また、相続放棄しても一切関わりがなくなるわけではありません。

民法940条には、「相続の放棄をした者は、その放棄によって相続人となった者が相続財産の管理を始めることができるまで、自己の財産におけるのと同一の注意をもって、その財産の管理を継続しなければならない。」とありますので、一人っ子であるトピ主さんが相続放棄しても、財産の管理（マンション管理費の支払い等を含む。）をしなければいけません。

ただ、この民法の規定は来年4月からは、「相続の放棄をした者は、その放棄の時に相続財産に属する財産を現に占有しているときは、相続人又は第952条第1項の相続財産の清算人に対して当該財産を引き渡すまでの間、自己の財産におけるのと同一の注意をもって、その財産を保存しなければならない。」というように改正されますので、マンションに住んでいないトピ主さんには管理義務が発生しないことになります。