ウチも以前良く似たことがありました。幸い階下の方が良い人だったのか、トラブルにならずに済みましたが。
水漏れ被害を伝えられた時、修復前に階下の方のお部屋の写真は撮りましたか？
弁償はあくまでその時点での現状回復のはずです。
気を付けなければ水漏れと関係のない汚れなどに関しても請求されます。
文面の限りでは、階下の方は今後も何かと理由を付けてやたらと請求してきそうなように思えます。

一度第三者（オーナーさんでも不動産屋さんでも）を交えて、トピ主さんがどこまで弁償するか決め、
文書で残しておいたほうがいいようにも思います。
また、保険会社のミスで特約が付けられていないのが確実であれば、保険会社にもある程度負担してもらわなくてはいけないかもしれません。（保険屋さんはなかなか払ってくれませんが）
詳しくないのですが、本来ならトピ主さんのお住いのお部屋のオーナーが階下に弁償し、オーナーがトピ主さんに請求してくるものとも思われるのですが、ここのところはどうなのでしょうか？
くれぐれも簡単に約束してしまったり、捺印してしまったりすることなく、お金に関わるものは書面で残されておくことをお勧めします。

えりんさん、レスありがとうございました。
今、オーナーに交渉に入ってもらっていますが、一筋縄ではいかない感じです。先方は、「畳二枚替えても、縁が違ってはおかしいので、全部替えてくれてほしい」くらいの気持ちでいるので、文書をもらうのも大変かも。「後でしみになる場合もある」とも言ってます。しかし、現状復帰をすることは望んでないようで、「お金で」と言われてます。
私の場合、濡らしたのが、服、畳二畳、箪笥の一部でしたが、本や思い出の品をだめにしていたら、と思うとぞっとします。
写真は事故の翌日撮りに行きましたが、先方の主張される天井のシミは、写真ではわかりません。指をさされましたが、肉眼でもいわれてみれば？という程度。真っ白なら気になると思いますが、前の入居人の事故でできた、端から端に走る亀裂の方がかなり目立ちます。かりにシミがあるとして、この部分だけの補修以外はこちらが持つ必要はないですよね？

保険屋さんの責任問題、私も少し思ったのですが、確認しないオーナーにも非がありますから。でも、担当者、絶対に上司に報告してないですよね。なんのための保険かわからなくなります。