韓国語を勉強している者です。
韓国語にも全く同じ表現（～してしまう）があるのですが、参考書の説明には「話者の感情（しまった！と言う後悔）を強く現す」と書いてありました。

「飼い犬が死んでしまう」（犬を飼っていらっしゃる方、こんな例文ですみません）と「飼い犬が死んだ」とを比べると、前者には残念に思う気持ちが含まれているのだと思います。

英語が得意なつもりでしたので
自信満々でこのトピひらいたのですが
英語うんぬんの前に自分自身の日本語力のなさに気づきました。

「～しちゃいました」と「～しました」の差を
まずうまく日本語で説明できません！

～しちゃった、という時って
本当はやってはいけないけど、うっかりやってしまった
というニュアンスになるのですかね？
すると happen to (偶然に）とかつけてみるという手もありますよね。

そんなに英語が得意という訳ではありませんがTOEICは900点以上です。

日本語と英語は１対１では対応しません。どうしても英語に翻訳できない言葉も沢山あります。代表例は「よろしくお願いします」かな？
ということで、英語訳は日本語の文脈に拠ります。

「～しちゃった」が「偶然にも・・した」というような意味合いなら「happened to」くらいで説明したら如何でしょう。
「残念なことに・・・した」という意味なら、「Unfortunately, I did ・・・・」とか「I regret that I did ・・・」くらいかな。
「もう既に・・・した」というような意味が強ければ「I have already did ・・・」だと思います。

日本語を英語に訳すときに一番難しいのは、英語に翻訳可能な日本語にオリジナルの日本語を変換することなんですよ。
話している方は気軽に「～しちゃった」と言いますが、その意味は「偶然にも・・・」なのか「残念ながら・・・」なのか「もう既に・・・」なのか、話している本人にも明確に意識できてないことが多いです。でも、それを突き詰めないと翻訳できません。

「した」＝ I did

「しちゃった」＝ I have done

って感じでしょうか？

英語で例えば「水をこぼした」は、"I spilled the water."となります。

そして「水をこぼしてしまった」は、"I accidentally spilled the water."となるはずです。

こういう感覚の違いですが、おわかりいただけましたか？
説明足らずでごめんなさいね。

「I have already did ・・・」って文法的に間違ってますよ。

口語表現だったら、justを使うと「思わず・予定外に・もう」的な意味を添えて言い表せると思いますが…。

トピ主さん、失礼しました。最初の「英語が得意な方」の部分をすっかり無視したレスをしてしまったようです。なので、再び登場。英語が得意ってワケではありませんが。

「～してしまう」express more of a speaker's feeling,(especially regret)「飼い犬が死んでしまった」includes the feeling that the speaker feels sorry about the death.
こんな感じでしょうか？

　昔、英語の先生と例文を読みながら練習をしていて『have＋過去分詞』は、『～しちゃった』という表現にもなる、と説明されましたので。

トピ主さんが「英語の得意な方！」と書かれてますが、どちらかというと日本語力の問題みたいですね。
まず「～した」「～しちゃった」を見てみると、こんな違いがあるのではないでしょうか・・・

「～した」
→●Past form/Present perfect form(過去形・現在完了を表す）
●Formal（文語体）

「～しちゃった」
→●Present perfect form(現在完了を表す）
●colloquial（口語体）
●Implying that it's done by mistake（誤ってやったという意味を含む）

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