トピ主さんのご主人が会社員で、健保も年金も会社で入っていることを前提に、お話させていただきます。

まず、ご主人の会社で扶養の手続きが終わったら、何日付で手続きがされたのか（扶養認定日）をご確認ください。必ずしも９月中とは限りませんし、健保と年金で日にちがズレる可能性もありますので、両方ご確認ください。

最初に、年金ですが、３つの種別があります。
○第１号被保険者（自分で国民年金を払う人）＝現在のトピ主さん
○第２号被保険者（会社で厚生年金に入っている人）＝トピ主さんのご主人
○第３号被保険者（第２号の配偶者で扶養されている人）＝これからのトピ主さん

ひと月に複数の種別になった場合、保険料は、その月の最後の種別に応じて考えます。

仮に、９月２３日付で手続きが行われたとすると、トピ主さんの９月最後の種別は、第３号被保険者（保険料は納付不要）となりますので、９月分は支払う必要がありません。もし、９月分の国民年金を既に支払ってしまった場合でも、所定の手続きをとれば、保険料は戻ってきます。
（続きます）

（続きです）
次に、健保ですが、任意継続から抜ける要件は、下記となります。
○就職して会社の健保に入ったとき
○保険料を滞納したとき
○任意継続になって２年を経過したとき
○死亡したとき

お気づきかと思いますが、「家族の扶養に入ったとき」という要件はありませんので、トピ主さんは、保険料を滞納することによって、任意継続を抜けることになります。保険料滞納の場合、資格喪失日（任意継続を抜ける日）は、納期限の翌日となります。

健保では、資格喪失日が属する月の保険料は支払わなくてよいのですが、仮に９月２３日付で扶養が認められたとしても、トピ主さんの場合、任意継続の資格喪失日（次回の納期限の翌日＝１０月１１日）は１０月に属するわけですから、既に支払った９月分の保険料は、戻ってこないかと思います。

ただ、任意継続の保険料返還は、保険者によって微妙に対応が異なるようですので、正確なところは、必ず、保険者（健保組合または社保事務所）にご確認ください。

ダブったりすれば、当然返金されます。
旦那様の勤務先に、扶養開始の手続きをし（失業保険の給付最終日を確認できる書類が必要。遡っても出来ますが、事実発生後５日（１０日？）以内に手続きをせよとのお達しが社会保険庁から出ており…事前に伝えて欲しいです…）、給付最終日の翌日から被扶養者になります。（健康保険に関して云えば、最終日まではご自分の、翌日からは旦那様の保険証での診療になります。継続治療を受けておられるなら、病院（医院）にはあらかじめ伝えておかれたほうが親切かも。保険の種類が同じなら問題はないのですが、違ったりしますと、病院に…例えば、社会保険から給付された分を返金して、○×共済組合に遡って請求といった…迷惑がかかったりします。保険証の発行に時差が生じることはありますが、元の保険証で診療を受けたりはしないでください。）
保険料は末日主義なので、月の末日が、旦那様の扶養になるなら、その月分からは元のご自分の保険に支払う必要はありません。支払う前に、相談すれば、その月から止めことが出来るかも。支払ってしまっても、何ヶ月か後に返金についての連絡が来ます。必ず来ますが、割と暢気です。

素人判断で申し訳ないのですがレスします。
＞９月２３日の最後の認定日をもって
ということは失業給付受給の最終日は、8月26日～9月22日のどこか、ですよね？
最終日の翌日から扶養家族になれると思います。
ですから、
失業給付受給の最終日が8月30日以前なら、8月分～保険料を払わなくてよい
失業給付受給の最終日が8月31日以降なら、9月分～保険料を払わなくてよい
のではないでしょうか？
もしダブって払っていた場合は後で還付されると思いますよ。

失業手当は、そもそも「求職中の人」が受給できるもので、「扶養に入るつもり＝働く積もりがない」の人が受給するのはふさわしくありません・・というか、不正受給になりますよね。

9月13日の書き込み日現在で、「夫の扶養に入る」予定にも関わらず、「9月23日の認定日」で、「一生懸命探してますけど、仕事がないんですー」って、虚偽の申告をする訳ですよね。

不粋な事は申し上げたくないんですが、このような場で不正の片棒を担ぐ相手を探すのはいかがなものかと思いますが。

という訳で「私は正しいのでしょうか」という質問には、「間違っている」とお答えします。