タイトル通りです。
能率があがるかどうかは、その人の性質によります。
私は音がないと集中できませんが、友人は音があると集中できないと言ってました。
一般論ではなく、トピ主さんのお子さんがどっちなのか、見極めるのが先ではないですか？

男性の場合は、視野の広さが優れていると云われますが、二つ以上のことを同時にこなすのは、むしろ女性に優位性があります。ながら勉強は、本来は男性には向いていません。ラジオをつけていても、勉強に没頭してラジオが耳に入らないか、逆にラジオに気がいってしまい勉強が疎かになるかどちらかです。綱渡りなので非常に危険な勉強方法だといえます。対して、女性は、ながら勉強で、ラジオと勉強を半々に集中できるという特性があります。すごい機能ですよね！

音楽の内容にもよると思います。
医師が手術室でBGMをかけながらリラックスして執刀することもあります。

ただ、ラジオは人の話し声が聞こえてくるわけですから、勉強に集中するのは難しいと思います。
また、歌詞がある歌も同様にダメです。

どうしても音楽をかけるとすれば、静かなクラシックを低いボリュームでかければよいのでは？

ピアノ曲はピンピンした高音が耳につくとイライラするかもしれませんから、バイオリンなどがいいかもしれません。

でも、基本的に「ながら勉強」はおすすめしません。

実験してみればよいのですよ．
音楽かけながらの環境と，静かな環境で，同じ時間同じ物
（たとえば２０分間で英語例文を５文とか）を暗記させる．
で，どちらの方がより憶えているかテストする．
一目瞭然です．

ま，そこまでしなくても，普通に考えて，ラジオや歌は
いい影響があるとは思えませんね．
ラジオのトークや歌の歌詞は「ことば」ですから，目の前の
課題や暗記対象と競合するのでは？と思います．
勉強の合間のリラックスにはなっても，勉強中に流すことに
何のメリットも無いと思います．

大学受験目指して夜中に机に向かうような勉強体制になったら
「勉強の友」としてラジオや音楽は良いと思いますけど，
まだ中学生ですよね？
一日数時間，ラジオや音楽は我慢して，勉強に集中するように
なさったほうが良いと思います．

歌詞が邪魔だからクラシック・・・という声もあるようですけど、クラシックだと寝るような気がします。

どなたかも仰っているように、効率が上がるか変わらないか下がるかは個人差が激しいと思います。
趣味嗜好、向き不向き、そして友人の影響などです。

静かな中で黙々とただひたすら勉強だけに打ち込める人はあまりいないと思います。ある程度のノイズは勉強の妨げにはならないというのが私の持論です。もちろん、ノイズに気をとられすぎて勉強がお留守になるようでは逆効果ですけど。

ところで・・・ものすごく基本的なことを聞いてよろしいでしょうか。息子さんは、勉強自体がわからなくなっているというようなことを漏らされたことはないですか？　音楽が云々とか、環境がどうのとかいうのも全くないとはいいませんが、ただ義務的に机に座り鉛筆に汚れた紙を大量生産するだけが勉強ではありません。そう勘違いされている親御さんがたくさんいますが・・・
理解が進まない状態でできるのは所謂「丸暗記」ですから、限界が来ますし応用力にも欠けていることが多いです。

やっぱり人それぞれだと思います
本人が効率が上がると感じているのであればＯＫかな？
私も論文やレポート書きの際は音楽聴いていました
統計的に効率は1.2～1.5倍くらいでした
集中できない･気が散る以上に
キーボード入力のリズムが丁度良かったです
ついでにＣＤ１枚７０分くらいでちょっと休憩

曲はクラシックや映画やアニメのサントラ
基本的に歌詞が無い奴です
歌詞があるとつい意識しちゃうんで…
そんな訳で私はラジオだとダメでした…

みなさんの意見、参考になりました。
主人に小町の意見なども読ませて、一応ラジオなんかは消して勉強って事になりました。

主人は私の意見に何にでも反対するタイプなので、小町のみなさんの意見は大変、主人に効果的でした。
ありがとうございました。

　私は、十数年前の高３の時、メタリカやメガデス、アイアン・メイデン、ジューダス・プリースト、ハロウィン、レッド・ツェッペリン、ブラック・サバス、ディープ・パープルなどなど、ヘヴィーメタル、ハードロックをがっつん、がっつん、切れ目無くかけながら、受験勉強してましたが、予備校、塾にも行かず、自宅学習だけで、難関大と世間で言われるところに現役で合格しましたよ。