その会社で正社員になってもいいな、と思えるのでしたらがんばればいいでしょう。
しかしながらその上司にも問題はありそうですし、社員になるメリットを感じられない会社です。
私ならパスします。
正社員という言葉をちらつかせて結局使い捨てにする企業を何社も見ていますので、基本的に自分はそういう言葉は信じず、今の自分にとってその会社が価値があるかどうか、派遣としてスキルが身につくかどうかで決めています。

なぜ、今　その就業先にいるのか、何を求めているのかを考えましょう。
どうしてそこに決めたの？　ほかがなかったから？
会社のネームバリューがかっこいいから？
時間、場所、時給など条件がピッタリだから？
やりたい仕事だと思ったから？

私は、業務内容は別に契約以外でもどうでもいいんですよ。
就業時間内でさえあれば、掃除だってなんだって。
（時間外手当が出るなら時間外でもいい）
スキルアップとかやりがいとか、全然仕事に求めてないです。
お金さえもらえれば、というスタンス。
だから切られないかぎり、そして人間関係とか環境が我慢ならないほど嫌にならない限り更新してます。

トピ主さんは？

ほかが無いなら、贅沢言ってられませんよね？
条件が合うなら、別に辞めるほどのことじゃないのでは？
やりがいを求めるなら、即転職でしょう。

最初に戻って、考えてみてはいかがでしょう。

わたしも同じ経験をした一人として意見させていただきます。
派遣になって数年が経ちました。
去年は長期の仕事がなかなか決まらず、しかたなく短期の仕事を始めたらそんな仕事しか紹介されないという悪循環に陥ってしまいました。
やっと長期で雇ってもらえる仕事を派遣元に紹介していただきましたが、まさしくねこさんが経験されているようなお仕事でした。
辞める時もおいしいことを言われ引き止められましたが、半年その会社にいた経験から単に社員が嫌がる仕事（毎日のコーヒー入れやごみの片付けなどの雑用など等）をやらせたいからというのが見え見え。
仕事のことで派遣元に相談して、増えた仕事は定期購読している雑誌の管理。
お手伝いさん雇えばって感じでした。
お金が余っている企業は、そんな仕事にすら派遣を雇ってしまうのです。
社員になれるという話はどこへやら。社員になれたとしても断りますが…。
もし、ねこさんががまんできないならさっさとトンズラしてしまうのがいいと思います。
ちなみに、現在わたしは正社員の口を捜しています。もう派遣はイヤ…。

私も派遣歴が長いです。まず、少しでもいい条件のところに渡り歩けるのが派遣のメリットでもあるので、やってられないなぁと思ったら、スパっと辞めて次に行けばいいと思います。もちろん次の派遣先がどんなところかもわからないですが、今の職場の不満が大きければ、万が一次のところもあんまりよくなくても前のところに戻りたいとは思わないですよね。そして、派遣で入って、正社員になれるケースってあるのですか？最初から紹介予定派遣っていう形以外では少ないのではないでしょうか？私は、派遣で入ってもせいぜい契約社員になるケースしか聞いたことありません。あ、でもこれは私が知らないだけかな・・・^^;私は高い時給いただけるなら、時間内であれば雑用でもお茶くみでも何でもいいけど、前の職場は正社員以上に仕事量をまかされていてきつかったです。そして正社員はリフィレッシュ休暇だの有給だのとにかく休みが多くて、その穴埋めに追われてやってられなかったです。でも私は派遣だから、それがイヤなら私がやめるしかないなぁと思って２年頑張って辞めました！

ayu様　派遣ＯＬ様　派遣社員Ａ様
コメントありがとうございます！

今の会社は仕事内容でスキルアップできそうだと考えて選んだのですが、徐々に内容が変わってきてしまい、
今は最初の話とは違う仕事をしています。
かなり特殊な仕事ですがあまり教えていただける環境ではないことと、
仕事がない状態が何週間も続くなどでやりづらくなってきていました。

正社員になれるのなら
イヤな人がいようが、仕事が思ったような仕事じゃなくても我慢しようかと思いましたが、
正社員にいつ頃なれるのか、どんな仕事するのかも
かなりあいまいで、
もしかしたらなれるかも？！という感じだったので、
ayuさんや派遣社員Ａさんがおっしゃるような結果となる可能性大だと私も感じております。
今回は更新をせず、改めて正社員か紹介予定派遣で仕事を探す方向で考えております。