トピ主さんと同じような流れで有休取得しています。
まず上司（私の場合、課長）に相談し、出張などが重なっていなければＯＫ。
その後私が担当しているルーチンワーク（社内便を受け取るとか）を他の人にお願いします。

私がもし上司より先に、例えば後輩に「この日に休みを取りたいんだけど」なんて言うのも変かと思います。
と考えると、上長でない人にお伺いを立ててから上長に話をするのは
何だかおかしいような気がするんですが…。
こんな事言うのはあれですが、上司が「仕事に影響なし」と判断してＯＫを出したら、
営業さんもパートさんも口を挟む権利はないと思います。

パートさんは「私だって休みたい日があるのを我慢してるのに～！」とか、
何か気に入らないことがあったんではないでしょうか。

トピ主さんとパートさんは同じ日に休むことが出来ないのですよね？
また、トピ主さんが休むとパートさんの負担が少し増えるということはありませんか？
もしそうだとしたら、上司の承認を得る前にパートさんに「○日に休みたいのですが、大丈夫ですか？」声をかけて確認するのがマナーではないかと思います。
もし上記の様な事情がなければ、承認をもらった後に伝えれば十分です。

私の場合ですが、今まで働いた会社いずれでも、みんなまず同僚達のOKをもらってから上司に休暇願いを出すという暗黙のルールになっていました。休暇中、日常業務や問い合わせ、突発的な仕事等、実際に引き受けるのは上司ではなく同僚ですから、まず彼女達にお伺いを立てました。

その日、同僚の仕事が盛りだくさんの予定で、それ以外の仕事をする余裕がないかもしれませんし、まだ申請していないだけで同じく休暇を予定しているかもしれませんから。やむおえない用事でなければ私も周りの状況を見て休暇の日程を決めますので、今まで同僚達から「NO」と言われたことはほとんどなかったと記憶しています。

上司に言う時には「休暇中の自分のカバーは確保済み。」の前提ですので、あとは上司が自分の予定を確認して私がいなくても差し支えないと判断すればOKが出ます。

ただ、トピ主さんが休んでもそのパートさんの仕事が増えるわけでなく、２人同時に休んでも差し支えない職場環境なのであれば今のやり方で問題ないように思います。

順番はあってます。上司に相談してから了承を得て、パートさんにもきちんと報告したのだから。確かに負担が増えるし迷惑を掛けられるのは分かるけど、そのパートさんの対応は子供っぽいです。気にしなくていいですよ、報連相はまず上司へです。

あなたが休みの時でもしなくてはならない仕事を、そのパートさんがやるとか、
電話対応や接客など、あなたがいないとパートさんの負担が増えるとか、
そういった状況があれば、一番先にパートさんに都合を聞くべきです。
同じ日に休みたいと考えていたら、遠慮してもらうことになりますから。

私の場合は、庶務の時は休みの間に代わりに仕事をお願いする人に
まずは相談します。その人にも仕事のスケジュールがあるし
もしかしたらその人も休むかもしれないから。

上司と二人で事務所で仕事の時は上司に相談すれば代わりの人を手配してくれました。

営業の時は直上司に言ってから、得意先に連絡してます。

さて、トピ主さんが休みの間パートさんがフォローしなくていい
単独の仕事なら別に言わなくてもいいと思います。
でも、パートさんがフォローし仕事量が増えるならちゃんと
連絡し、パートさんの仕事スケジュールも考慮するのが
社会人としてのマナーではないでしょうか？

　私（係長）の場合は，私と部下２人（AとB）が同時に休むことは出来ない職場なので、まずAとBに、○日休みたいんだけど大丈夫？と聞きます。AとBの休暇予定とかぶらないようにするためです。部下２人と休みがかぶるということは，業務上支障があるからです。その後，課長に確認し，OKが出てはじめて届けを出します。

　Aはいつも直接課長にお伺いし、OKが出て届けを出してから私やBに○日休みますとだけ言ってきます。Bは、Aが休む日にたまたま休みたかったとしても，すでにAが届けを出してしまっていますので休めません。面談の際Bは、Aの休みを優先しないといけないんですか？と言ってきます。仕方がないのでAに、休暇を取る際はBと相談してから取ってほしいと頼むと，そんなのおかしいと言われました。

私もAの休暇の連絡の仕方は，とても高圧的に感じます。確かに休暇を取得できる権利はあるかもしれませんが，仕事の一部でも相手にお願いする場合、相手が自分より立場が下でもお伺いをした方がいいと思います。
　私とA,Bの子供は同じ小学校へ通っています。いつもAは学校行事へ行ってBと私は行けません。私とAの心の中はモヤモヤしてます。

「有給の許可（承認）を得る」ということと、「業務に支障の出ない日程を選ぶ」
ということは、別にして考えてください。

トピ主さんもおわかりだと思いますが、有給取得するときは「１.業務に支障の
ない日を選び」、それから「２.上司に許可申請」しますよね。

おそらくパートさんが不満なのは、１.の「日程の選択」をトピ主さんが
「自分ひとりで判断してしまったこと」であり、２.の「有給許可」について
「上司より自分が先だ！」などと思っているわけではないと思います。

本当に「業務上支障がないように有給を取る」のであれば、必然的に
「日程を決める」ことに限っては、役職を問わず「トピ主さんの不在によって
特に業務上影響を受けそうな人」くらいには、事前に相談することが不可欠に
なりますよね。
これ自体は、上長に対して何ら失礼にあたることでもありません。

もちろん２.の「トピ主さんへの有給許可」に関しては、パートさんには何の
権限もありませんから、上司からのみ許可を得ればOKです。

うちの会社では逆にまずは同じ部署の同僚間で休みの調整をするように言われます。同じ部署内で２人以上が同日に休みを取ってはいけないので、同僚が同じように休み（遅刻、早退）を計画していないか確認し、自分のルーチンワークをお願いする同僚には都合を聞きます（その日に会議が入っていないか、別の仕事が入る予定がないかなど）。そして、問題がなければ上司に伝えます。
確かに有給は労働者の権利ですけれど、以前同僚がいきなり上司に許可を求めた時には、「一緒に仕事をしているこちらの都合は全く無視？」と思ってしまいました。

う～ん、トピ主さんの職務上の立場が判りませんが、一般論で言うならば、基本的に直属の上司のみに「承認」を貰えば事は充分足りるはず。一管理職として言うと、仮にトピ主さんが私の部下で「有休申請」を出されたら質問は1つのみ。「トピ主さんの仕掛かりの仕事で、休暇中にフォローを要する案件、顧客や社内の誰かに何か書類等提出しなければいけない事情があるならば、簡単にメモを残しておいて下さい。私の方で対応しておきます。休暇中何か思い出す事があれば必ず連絡を。ではゆっくり休んで下さい。」・・でComplete Done。他のメンバ-（更に上の上司等関係者）への通達は、上司たる私の仕事。

今は殆どが電子承認化され、「TOは直属の上司、CCに関係者」として諸申請をするのが通例の時代。何故なら「効率的だから」。パートの方へ負担が掛からぬ様にサポートするのも管理職の責務の1つで給料に含まれています。そのパートの方の意識も？？。実際にその方の業務に支障がでてるなら、その事を直ちに、感情論ではなく理路整然と私に対して異議申し立てをしなさい！と言いたい。そこは組織自体にも問題が有りそうですね。めげずにがんばって下さい。

トピ主さんも、回答する方もとても常識的だと思います。

私の職場は女性が２人＋男性３人の全部で５人の会社です。
（女性は２人共社員です。）
業務自体は各々、自分の受け持ちがあるので自分の分を
こなせればそれでいいのですが、通常業務の他に女性２人で１週間ずつ交代で
電話当番をしています。
ですので、自分が電話当番の週に休む場合には、それになりに
「○日休むのでヨロシク！」程度の挨拶があれば私としてはいいのですが
上司に許可もらってるんだから別にアナタに断る必要もないでしょ！的に
黙って休まれたりするとあまり気分のいいものではありません。
（これが結構多いです）

会社入り口にある予定を書くホワイトボードに「○日休み」なんていう
書き込みを目にした時にはちょっと腹が立ちますね。
そこに書くくらいなら直接言葉で言えば？って感じです。

社内で当番制の決め事があるようなら、ちょっと一言都合を
聞いてからの方がいいかもしれませんね。

トピ主さんへの回答というよりも、愚痴になってしまいました。
失礼しました。

皆さん、レスありがとうございます。

仕事分担としては、私は経理補助、営業補助両方出来ますが、一人ですべてをカバーするには時間が足りないので、営業補助（注文作業と、納品書発行）のみをパートさんにお願いしている状況です。私がいなくても、回るようにはしてあります。

パートさんはいつでも「有給は権利なんだから！休みたいならいつだって休めばいいじゃない!!｣といつも言っていました。
そして実はパートさんは急に休むことがしょっちゅうです。お子さんが急に熱を出したりして・・・と言うのもありますが、前もって支店長に申請することもなく「今日は、子供のかかりつけの先生が病院にいる日だから」と言う理由で休んだりもします。前もってわかることなのに。
パートさんのほうは、私に一言言うどころか、支店長にすら許可もらってないのに・・・と言う思いがちょっとあったのですが、だからと言って、私も同じ風にしていいわけにもならないし。

皆さんの意見の中に、一緒に働いている人に一言かけてから・・・と言う意見ので、今度からそうしようと思います。