ワニ　の部分があるので自信がありませんが、おそらくアスクレピオスの杖かケリュイオンの杖（カドゥケウス）ではないでしょうか。
前者はギリシャ神話の医療の神様が持っている杖、後者は別の神様の杖ですがデザインがよく似ています。
前者は医学の、後者は商業のシンボルです。
混同されたり、わざと違うほうのデザインを取り入れている場合もあるのだとか。
蛇ではなくバジリスクという、蛇の胴体をした怪物が巻きついているタイプもあるようなのでこちらでしょうか…

デザインからキーワードを思い出して検索しただけなので、あまり正確な内容ではないかもしれません。
神様関係ではありますが、怪しい宗教ではないと思いますので（笑）そのお医者様にお尋ねになってもいいかと思いますよ。

実物を見ていないので断言できませんが、身体が蛇ということなので、おそらく「アスクレーピオスの杖」を象ったマークではないでしょうか。

アスクレーピオスの杖は、ネットで検索していただくとわかりますが、「医療」を象徴するマークです。このマークは、医療に関係する様々なところで使用されています。
？？？さんがご覧になったのは、その一つのバリエーションかと思います。

一番お勧めなのは、その病院の人に「あのマークと言葉はどういう意味ですか？」と聞くことですよ。ひょっとして整形外科の先生ご自身がデザインされたものかもしれませんね（頭もワニに見えて、実は蛇なのかもね）。

検索は「アスクレーピオスの杖」ではなく「アスクレピオスの杖」でしてください。
前者だとあまりヒットしませんでした。

ではでは。

トピ主さんとお母さんのように、誤解されている方もおられるので、病院にお願いして紋章の説明を待合室に掲げていただいたらどうでしょうか。
「とても穏やかないい先生」ならいわれを書いてくださると思いますし、誤解を解く良い機会でしょう。

「パラサイト・レックス」と言う本にいわれが書いてありましたが、この紋章はギリシャ神話由来であるとともに、昔の西洋の医者が寄生虫を取りだすつえでもあったそうです。
寄生虫の名前は忘れましたが、皮下にいる長い虫で、ゆっくりと切れないように取りださねばならなかったそうです。
だから虫が巻き付いた杖です。

この話を国際線の機内で、たまたま同席した公衆衛生の先生に話したら、日本医師会のシンボルはヘビが一匹でアスクレピオスの杖だが、アメリカの救急車のマークはヘビが二匹で商売の神様（これもウェッブで出ます）のシンボルだ。
アメリカの医者が金もうけに走っている証拠だと言われている、と言う笑い話を教えてくださいました。

ヘビが一匹と二匹の違いも書いておかれたら、先生の人徳も上がるのでは？