タンス株券と特定口座

実家の親から頼まれて今回ご相談させていただきます。タイトルの通りタンス株券についてなのですが、12月末の特定口座預かり〆切を前に、果たして株券を特定口座に預けるべきか悩んでいるそうです。証券会社からは「預けるべき」と言わんばかりの案内が届き、一方で「預けなくても大丈夫」と言う人もあり、情報が錯綜しているようです。状況としては、１　父・母・高齢の祖父が所有しており、それぞれ本人名義となっている。２　頻繁な売買で儲けるつもりはないが、将来的には売って手放す予定。 5年後の株券不発行制度導入との関係もいまいち素人にはわからず、この制度との関連も踏まえて、どなたかご教示ください。 よろしくお願いいたします。