まず、草津（滋賀）～名古屋の電車ルートは２つあります。

１．東海道線　　　　（２２１０円）
２．草津線・関西本線（１８９０円）

電車の運賃は距離で計算します。
三重県経由（草津線・関西本線）の方が東海道線より距離が短いため、運賃が安くなります。

１８９０円だと券売機ではなく駅係員による対面販売です。
その際、「草津線・関西本線」経由と駅係員に言う必要があります。
そして経由が印刷された切符が渡されるはずです。
東海道線の切符とは違います。

つまり、その切符で東海道線に乗るということは、東海道線に乗らないと申告して
安い切符を買っておきながら東海道線に乗ってる訳です。（虚偽申請です）

完全に意図的ですから、検札で見つかったら間違えましたでは済まないと思います。
その場合、不足分だけ払えと言われるか、３倍の料金取られるかは知りませんが、
不正乗車であることは間違いありません。

三重県を経由しようが、しなかろうが、草津～名古屋の値段を支払うのは当然では？駅で切符を買う時は一つしか運賃は出てきませんと思いますし。
その三重県を経由っていうのは、どこかで降りるとかですか？
降りるのでしたら、また電車を利用しようが降りる場所によって運賃に差が出てしまうって事はありますね。
多分その三重県のどこかで一旦降りて、そこで切符を名古屋まで買うと300円浮くって意味じゃないでしょうか？

キセルになると思います。

正式には、
切符にどこ経由か書いてあるはずです。
もし書いてなければどっちから行っても良いのでしょう。

えっと‥草津駅前のエルティ９３２の１Ｆにある、チケットＬＩＦＥという金券ショップに行けば、草津～名古屋間の正規の切符が、１９８０円で買えると思うのですが‥それを購入されたら良いのでは‥？

本当だ、経路検索すると２つの値段が出てくる。
ＪＲ会社が異なりますが、首都圏ではＪＲ東日本という会社で、
全国どこの経路でも買える券売機があり、これで買うと最安切符が
出てくる筈なのです。
ＪＲ他社でも同様の券売機がある筈です。
指定券なども買える、クレジットカードが使える券売機です。
勿論現金でも買えます。
つまり、これで購入した乗車券なら、投稿の主旨の通り、1890円で
東海道線に乗車して差し支えないと思います。

切符を分割して買う手があります。

金券ショップで栗東より北にある駅から京都までの切符を買う時に分割になっています。

一例をあげると近江八幡～栗東、栗東～京都と2枚に分かれています。
分割して買った方が安いからです。
自動改札では2枚を重ねて入れます。

行き先が大阪になると切符が3枚になります。
上記に加え、京都～大阪が1枚増えます。
この場合自動改札を通れませんので、駅員さんのいる改札で直接手渡すことになります。

トピ主さんの場合、草津～名古屋と買うよりも区切って買った方が運賃は安くなります。

東海道線で草津～米原、米原～名古屋と区切って買うと￥2,100－です。
草津～米原が￥820、米原～名古屋が￥1,280です。
（関が原、大垣、尾張一宮あたりで区切るとまた違った結果になるかもしれませんのでJR東海のHPで色々と試してみてください）
何度も往復されるなら回数券を上記のように分割して買われるといいと思います。

米原～名古屋間の切符は金券ショップでも手に入りますよ。￥1,250ぐらいだったと思います。

詳細は鉄拳さんの書かれている通り距離による算出ですので、正規の運賃未満の切符を持っていると見逃してもらえないです。

早いけど高い快速ありの約２時間２２１０円か
遅いけど安い普通のみの３時間１８９０円。

素直にこのどちらかを選ぶしかありませんね。
安くあげるにしても青春１８切符の時期まで待つとか、名古屋で１日３千円前後のウィークリーマンションでも借りて、電車往復４～６時間分名古屋を堪能するとかくらいでしょうか。
後は多分無料のヒッチハイクとか....

JR6社（旧国鉄）では、おおむね同じ運賃規則を用いています。

普通運賃は、原則として発駅から着駅まで、乗車する営業キロ数に基づいて計算されます。

例外はいくつかありますが、トピ主さんお尋ねの、複数経路の場合の例外は、
http://railway.jr-central.co.jp/ticket-rule/rule14.html
に出ているものだけです。

　鉄拳さんの仰る通り，草津・関西線経由の乗車券で東海道線に乗ることはできません。乗れば差額の支払いを請求されます。原則としてはあくまで，実際の乗車経路に沿った距離分の運賃を支払う必要があります。

　尤も例外もあって，例えば山科―近江塩津（もう少し分かり易く言えば京都―敦賀）間は，運賃の計算は湖西線経由ですが，その切符で米原経由もできます（急行「きたぐに」に乗るような場合）。
　また，東京・大阪・博多の各駅周辺では「大都市近郊区間」というのが定義されていて，この領域内であれば実際の乗車経路に関らず最短経路で運賃を計算する，という規則もあります。

　このような事例もなくはないのですが，草津―名古屋間は何の特例措置の対象にもなっていないので，東海道線経由であれば2210円かかります。