私の知り合いに、トピ主さんと同じように更新直前に雇用側から「更新はしない」と通告され、解雇予告手当てをもらった人がいます。
でもその人の場合は、何年のその職場で働いていて長期雇用とみなされたからもらえたそうです。
トピ主さんはまだ勤めて３ヶ月ですよね。。。難しいと思います。

ちなみに解雇理由はなんだったんでしょうか？
雇用側の一方的な理由での解雇なら、少しは交渉の余地があるかもしれませんが。。。

明日から来なくていいです。と
私とは違う派遣先から来ていた二人が解雇されました。
その時は、契約書に書かれていたとおり、１ヶ月以上前に予告しなかったため、余分に１か月分の給与を支給してもらってました。
そして、その１ヵ月後、私ともう一人が来月末で解雇との宣告を受けました。
ギリギリ１ヶ月と１日とかの日程でした（笑）
会社側も、急に解雇するのはもったいないと学んだようです。
派遣社員を雇えなくなるぐらい業績が悪化していたし、馬鹿な上司のいる会社だったので喜んでやめましたが（笑）

まずはどのような契約を結んでいたのか、契約書の内容を確かめましょう。

三ヶ月どころか一ヶ月でも雇いたくないですね

契約更新なし≠解雇
本当に社会人ですか？

実質的に正社員と同等とみなされるケースは
正社員の場合に適用される規定を準用しますが

そういういい加減な所が本当に多いです。
そして年齢がいけば自然と仕事もなくなります。
余程能力があれば、仕事もあるんでしょうが、
そんな能力があるなら派遣じゃなくても
仕事はあるよ、って程の能力ですね。

結局人間を使い捨てにする為の制度だと
思いますよ、派遣。

皆さんももっと早く気がついて切り替えた方が
良いと思います。

派遣社員ですから、雇用主は派遣会社。派遣先企業と派遣会社との契約に基づいています。
だから、解雇されたというのはどうでしょう。
３ヶ月以上の期間更新で、更新しない場合は１ヶ月前までの通告というのが一般のようですから、１週間前というのは確かにどうかと思います。
でも、これも派遣会社と派遣先企業との契約の問題で、トピ主さんとは直接関係ない話です。
派遣社員として受け入れる側の考え方としては、必要な時期は欲しいが、そうでなければ次の更新をしないことで簡単に終了させることができるというものです。正社員は簡単に解雇できませんから。
だから、仕事振りが優秀でも、派遣先企業の事情により更新されないことがあるのが派遣社員です。