トピ主さんの解釈は、たぶん元の意味から外れてしまってると思いますよ。
トピ主さんのあげた例での使い方だと、「楽しく何かをする」ではなく、「ある行為によって生まれる雰囲気・空気を楽しむ」といった意味で使ってるんじゃないでしょうか。

具体例）
・毎日家族そろってゲームを楽しんでいます
→「家族でゲームをすること、ゲームを介した団欒」を楽しんでいる

・かわいい手作りのバッグを楽しんでいます
→「手作りのバッグを作ること、使うこと」を楽しんでいる

「楽しく遊ぶ」「大好き」と言い換えるとなんか違いますよね。
ゲームは遊ぶものですし、手作りバッグは作るもの、使うものなのは自明ですから、「遊ぶ」「作る」「使う」が省略されていることには特に違和感は覚えません。
むしろ、具体的な行為を省略することで、行為自体ではなく、行為から生まれる気持ちの方を伝えたいのだということが明確になるとさえ思います。
「～することを楽しむ」でもいいですけど、言いまわしが堅苦しくて楽しい気持ちを伝えるという意図とマッチしないのではないでしょうか？

「ゲームを楽しむ」はあまり違和感がありません。「手作りのバッグを楽しむ」だととても違和感があります。頭の中に「うふ、と嬉しそうにバッグを眺めている人」が浮かんでしまいました。正解はおそらく「バッグを作る」方ですよね。

ゲームと言えば「ゲームをする（で遊ぶ）」だろうと想像がつきます。めったに「ゲームを作る」の意味だと言う人はいないでしょう。でも「バッグを楽しむ」と来ると、その手前の「手作りの」がバッグを目的語とする真の主語だということに気づけません。名詞を目的語にしたい場合は「バッグ作りを楽しむ」と言うのが普通だと思います。「楽しむ」が動詞なのが変なのではなく、目的語の選び方が変だと思います。