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    🐤
    ジョンソン
    話題
    最近は小町に数学や算数のトピがあるのですね。ちょっとびっくりです。
    私にも便乗させてください。

    数学(確率)の問題です。

    赤、青、緑、黄色の4つのサイコロを振って、全て3の倍数になったら勝ち、というゲームを考えます。
    1回のゲームをするのに100円必要で、勝てば3倍、つまり300円になってかえってきますが、
    負ければ100円はかえってきません。
    さて、このゲームをするのは割に合うでしょうか。

    これだけでは、小学生の夏の宿題にもならないので、追加:

    1000持った人がこのゲームを続けるものとします。所持金がなくなるまでにかかる
    ゲーム数の期待値は何でしょうか。

    以上、最近の婚活トピをみて思いつきました。

    トピ内ID:0397630260

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    解答

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    blank
    ss
    さいころの説明がないのですが、1から6まで目のある一般的な6面体のさいころとして回答します。
    1つのさいころで3の倍数が出る確率は1/3  4つすべてが3の倍数になる確率は(1/3)^4 で 1/81
    1/81の確率で200円のプラスになり80/81の確率で100円のマイナスになるので期待値は-96.30です。 なので割にはあいません。

    同様に平均10.38ゲームで破産します。

    トピ内ID:0808869787

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    どこが婚活?

    しおりをつける
    🐶
    二立
    問題の意図がよくわからないのですが、一応答えを考えて
    見ました。

    サイコロで3の倍数が出る確率は1/3です。
    4つのサイコロを振って、全部が3の倍数になるのは1/3の4乗
    だから1/81です。

    勝てば300円、負ければ-100円というのは
    明らかに割りにあいません。こんな損なゲームは誰もやらないで
    しょうね。

    期待値ですが、1回サイコロを振って、勝つ確率が1/81で
    +300円。負ける確率が80/81で-100円だから
    1回あたりに払う金額の期待値は
    300*(1/81)+(-100*(80/81)=-7700/81
    (95円ちょっと)です。

    1000円でやるなら
    1000/(7700/81)だから810/77で10.52回位
    ですかね。

    1回100円、勝てば5千円で、さらに全部同じ数(ぞろ目?)
    なら1万円特別ボーナス(つまり、全部3もしくは6の場合は
    1万5千円、それ以外は1万円もらえる)とすれば、誰かやる
    かもしれません。
    (それでも損ですが、宝くじよりマシですがね)

    トピ内ID:0325827105

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    素晴らしいですね!

    しおりをつける
    blank
    みらくる・けいん
    しかし,そのさいころは6面さいころではなく8面さいころではありませんか?
    あるいは,100面さいころで33の倍数という条件ではありませんか?

    6面さいころでの設問なのでしょうが,その辺にトピ主様の優しさを感じました。

    トピ内ID:7198922808

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    割りに合わないゲームですね。

    しおりをつける
    blank
    あげ
    3の倍数は3と6なので、各サイコロが3の倍数になるのは1/3 , 4つのサイコロ全てが3の倍数になるのは
    0.01234568(=(1/3)^4) という確率ですね。

    よって、一回あたりのbetの期待値は3.7円(300 * 0.01234568 + 0 * (1-0.01234568))
    10回betしても期待値は10倍の37円。
    つまり1回betできる金額では無いので、10回betする際のゲーム数の期待値は10回

    割りに合わないゲームですね。

    トピ内ID:2768752009

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    婚活と関係ありますか?

    しおりをつける
    💡
    こば
    ひとつのサイコロを振って3の倍数になる確率は2/6つまり1/3
    4つのサイコロがすべて3の倍数になる確率は1/3の4乗 つまり1/81
    1回のゲームでの獲得金額の期待値は
     300×1/81 + 0×80/81 = 約3.70370・・・円
    参加料100円を下回るので割にあわないと考えられます。

    次の問題は、一回につき96.2962・・・円ずつ減るので
    1000÷96.2962=約10.38回
    期待値という意味ではこれを答えとしてよいと思います。

    1000円から10連敗で持ち金0となるので、10.38回というのは
    ほとんどストレート負けに近いです。

    ところで、婚活トピと関係あるのでしょうか???

    トピ内ID:6469161862

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    数学が好きな人が多いな

    しおりをつける
    Ash
    サイコロが色違いだから一回全部投げると出てくる組み合わせの数は

    T=6^4

    全てが3の倍数になるのはそれぞれが3か6の時だからその総数が

    T’=2^4

    一回振る毎の確立がP=(2/6)^4=1/3^4

    一回振る毎に100円払ってもし上の条件になれば300円もらえるから
    その期待値はE=300/3^4-100=100/27-100
    きれいな数字にならないけど小数で書くとE=-96.30=-96円30銭

    必ず100円払うからこのゲームは確率の上では割に合いません。

    1000円持っている人がこのゲームをやるとして一回につき96円30銭損するから1000/96.3=10.38回はプレイ出来ます。

    トピ内ID:6875584056

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    10.38回?

    しおりをつける
    😀
    50代男性
    数学屋じゃないんですが、と予防線を張りつつ・・・

    勝つ確率は1/81ですよね、300円もらえるならゲームの期待値は300/81=3.7円。つまりゲーム1回で100-3.7=96.3円ずつなくなっていく。最初に1000円持っているなら1000/96.3=10.38回。

    > 全て3の倍数になったら勝ち
    を「4個のサイコロがすべて3または6の目が出たら」という意味だと考えました。「4個のサイコロの目の総和が3の倍数」ということなら話は別です。

    トピ内ID:2210069050

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    あはは

    しおりをつける
    😉
    王様
    こういうの好きです。

    1問目。それぞれのサイコロが3の倍数の目になる確率は1/2で、これが4個そろうのは1/16。オッズが3倍では得な賭けではないですね。

    2問目。演繹的にやってみます。

    10回未満ですっからかんになることはないので、とりあえず10回連続で負ける場合を考えると、1回の試行で負ける確率は(1-1/16)つまり15/16だから毎回独立事象と考えて
     10*((15/16)**10)

    1回勝つと3回余計に負けられるので13回(内勝ち1回)ですっからかんになるパターン一つあたりの確率は
     ((15/16)**12)*((1/16)**1)
    これが13C1=13パターンあるけど、最初の10回連続して負けるパターンは除く。だから結局13回は
     13*((15/16)**12)*((1/16)**1)*(13C1 - (10C0*3C1))

    (続く)

    トピ内ID:7344463851

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    あはは(2)

    しおりをつける
    😉
    王様
    16回(内勝ち2回)はパターンあたり
     ((15/16)**14)*((1/16)**2)
    で16C2=120パターン中最初の10回中勝ちが0回と13回中勝ちが1回しかないパターンを除くから
     16*((15/16)**14)*((1/16)**2)*(16C2 - (10C0*6C2+13C1*3C1))

    19回は最初の10回中勝ちが0回、13回中1回、16回中2回しかないパターンを除くから
     19*((15/16)**16)*((1/16)**3)*(19C3 - (10C0*9C3+13C1*6C2+16C2*3C1))

    結局N=3n+10、Z=■(N-6)Cnとして
     N*((15/16)**(N-n))*((1/16)**n)*(NCn - Z)
    の(n=0...)の総和の極限を求めることになりますね。

    エクセルでやってみました。シグマの部分が私の技量では書けないので手計算に近くなってしまいましたが、n=6すなわち28回ですっからかんになるところとまで計算すると、確率で99.6%をカバーし、期待値
          約12.31回
    となりました。

    トピ内ID:7344463851

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    追加問題について

    しおりをつける
    blank
    ジョンソン
    すみません、追加問題は、式だけじゃなくって、ちゃんと
    証明も付けようとすると難しいですね。
    (サイコロを振って何回目で初めて1の目がでるかの期待値を求めよ、
    というような問題とはタイプが違うので)
    そこで、代わりに、下のような問題は如何でしょうか。

    問題3:4つのサイコロのうち2つ以上の目が3の倍数になったら勝ち、というゲームだと、勝つ確率はどれくらいでしょうか。

    問題4:上の問題で、「ただし、一つでも1の目がでたら負けとします」という条件が加わったら、どうなるでしょうか。

    要するに、「高望み」しないで「妥協」するとどれぐらい確率が上がるか、という問題です。

    トピ内ID:0397630260

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    トピ主のコメント(4件)全て見る

    間違っていました

    しおりをつける
    🐶
    二立
    すみません。間違っていました。
    勝てば+300ではなく、+200ですね。

    トピ内ID:0325827105

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    婚活ってここまで割に合わないの?

    しおりをつける
    blank
    39歳男
    赤、青、緑、黄色のサイコロはそれぞれ容姿、年収、価値観、親別居ってところでしょうか?
    全て満たす確率は1/81ですが、特定の条件を妥協できるなら確率は3倍に、任意の条件を1つ妥協できるなら確率は4倍になります。

    しかし、条件が一つでやっとイーブンなこの賭け、相当にヒドイですね。

    トピ内ID:4927843030

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    ナルホドこれは婚活問題

    しおりをつける
    blank
    50代男性
    追加問題を見てトピ主さまの意図が分かってきました。
    とりあえず答えだけ・・・
    問題3が40.74%
    問題4が25.31%
    ですね。

    トピ内ID:2210069050

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    計算だけ参加者

    しおりをつける
    blank
    トーマス
    問題3
    全パターン 6の4乗で1296通り
    勝ちパターン(○=3の倍数[36] ×=それ以外[1245] □=全部[123456])
    ○ ○ □ □
    ○ × ○ □
    ○ × × ○
    × ○ ○ □
    × ○ × ○
    × × ○ ○
    これの○に2、×に4、□に6を代入して乗ずると
    2 2 6 6 = 144
    2 4 2 6 = 96
    2 4 4 2 = 64
    4 2 2 6 = 96
    4 2 4 2 = 64
    4 4 2 2 = 64
    その和は528よって528/1296 答え11/27(40.7%)

    問題4
    問題3の○に2[36]、×に3[245]、□に5[23456]を代入し
    2 2 5 5 = 100
    2 3 2 5 = 60
    2 3 3 2 = 36
    3 2 2 5 = 60
    3 2 3 2 = 36
    3 3 2 2 = 36
    その和は328 答え41/162(25.3%)

    毎回最後にフォローを入れてしまいますが、今回は特に自信がありません。

    トピ内ID:1983984662

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    あはは(3)

    しおりをつける
    blank
    王様
    何を勘違いしていたのか…。

    「3の倍数の目」がでる確率は1/2ではなく1/3ですね。

    だから勝率は1/16でなくて1/81。

    期待値の各項は
    N*((80/81)**(N-n))*((1/81)**n)*(NCn - Z)
    でした。

    失礼しました。

    「■」となっているところは「シグマ」です。

    トピ内ID:6986763889

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      参加する人が、いろいろだから。
      そこが、面白いところ。何があるかわからない。
      結果は決まっていません。

      トピ内ID:4308614544

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      トピ内ID:0854204097

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      しおりをつける
      blank
      ジョンソン
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      って言ってたら、実はストライクゾーンをとてもせまくしている、
      (いわんや「100面サイコロで33の倍数」とか
      「年収600万円」においておや)
      っていう趣旨だったんですけど、、、

      問題3,4はあっという間に解かれちゃいましたね。

      おまけの問題です。今までよりはやさしいかな。

      ある国では、子供のある夫婦の子供の数が(恒常的に)
      1人2.5割、2人5割、3人2.5割であるとします。
      ある男性が次男以下である確率を求めてください。
      ただし、生まれる子供は男女半々とします。
      (問題に不備があったら、適当に直して解いてくださいね。)

      もうちょっとレベルの高い話がお望みの方は、
      「海辺の美女の問題」でもご覧になってはいかがでしょうか。
      でも、現実的かどうかは????ですが、、、
      もちろん、「まだ売れてない高収入男性の問題」と
      翻訳しながら読んでも、まったく構いません。

      トピ内ID:0397630260

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      トピ主のコメント(4件)全て見る

      7割以上が長男

      しおりをつける
      😀
      50代男性
      外国との人口交流はゼロ、しかも老年期に入るまでの生存率を100%と考えます。以下、「兄弟」という用語は兄弟・姉妹を含めたものとして使用します。

      出題の条件から、ある男性が1人兄弟である確率は12.5%、同じく2人兄弟である確率は50%、3人兄弟である確率は37.5%。

      1人兄弟の場合(全体の12.5%)、
       第1子である確率100%……必ず長男

      2人兄弟の場合(同50.0%)、
       第1子である確率50%……必ず長男
       第2子である確率50%……半分は兄がいて次男【12.5%】、半分は姉がいて長男

      3人兄弟の場合(同37.5%)、
       第1子である確率33.3%……必ず長男
       第2子である確率33.3%……半分は兄がいて次男【6.25%】、半分は姉がいて長男
       第3子である確率33.3%……1/4は姉2人で長男、
                   1/2は姉1人兄1人で次男【6.25%】
                   1/4は兄2人で三男《3.125%》

      【】は次男で合計25%、《》は三男で3.125%
      足し合わせると次男三男は合計28.125%

      トピ内ID:2210069050

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      もっと単純な数学問題?

      しおりをつける
      blank
      部外者
      昔、国勢調査を見ていた時のことです。
      1960年代の10年間の男女出生数を見たところ、
      10年間の延べ数で男性の方が約20万人多かったです。
      他の世代にしわ寄せが行っているでしょうね…

      トピ内ID:5677456967

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      答えではないですが

      しおりをつける
      🐤
      バランス
      >1960年代の10年間の男女出生数を見たところ、10年間の延べ数で男性の方が約20万人多かったです。

      自然的には女子100人に対して男子は105人生まれます。生物的に男子は女子よりも弱い体質になっていて、男子は途中で死ぬことが多いので、男子が多く生まれることで数のバランスを取っているんです。それに昔から戦争で死ぬのは男子が多かったので、それも遺伝子に組み込まれているのでしょう。

      医学が進歩し戦争が無くなるとどんどん男性の数は多くなってきます。200万人も生まれた年は女子100万人に対して男子105万人です。これが10年続けばあっと言う間に男子が50万人多くなります。男性の方が短命なので高齢者は女性が多くなりますが。

      さらに結婚相手は女性が年下のことが多いです。ピラミッド型ならいいですが、逆ピラミッド型だとますます結婚対象の女性は少なくなります。数字的には男性が損です。
      そういうことでも結婚を諦める男性が増えたのでしょう。
      かと言って女性は喜んではいられません。数字的にあふれた男性だけではなく、それ以外のもっと多くの男性が結婚しないでいいと思い始めているからです。

      トピ内ID:1930552654

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      Does god play dice?

      しおりをつける
      💤
      ジョンソン
      皆さん、お付き合いありがとうございました。
      レスが遅くなってしまいましたが、設問2に関してです。
      「所持する金額の期待値が0になるときの数=回数の期待値」
      は証明が必要だと思います。

      そのためには、王様さんのようにするわけですが、これが難しい、、、
      たとえば、王様さんの2009年7月24日 15:04のレスに、

      16回(内勝ち2回)はパターンあたり
       ((15/16)**14)*((1/16)**2)
      で16C2=120パターン中最初の10回中勝ちが0回と13回中勝ちが1回しかないパターンを除くから
       19*((15/16)**16)*((1/16)**3)*(19C3 - (10C0*9C3+13C1*6C2+16C2*3C1))

      とありますが、この式では、最初の10回中勝ちが0回で、11回から13回の内勝ちが1回、最後の3回の内勝ちが1回、というパターンを2度引いていることになるので、引きすぎです。
      このような場合、いわゆる包除原理を使う必要があります。
      (上の王様さんは、勝った場合のご褒美が200円の場合の式となっていますので、更に修正が必要ですが)

      トピ内ID:0397630260

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      トピ主のコメント(4件)全て見る

      あー恥ずかしい、、、

      しおりをつける
      😑
      ジョンソン
      さっきのレスの最後のご褒美の金額についてのコメントは
      思いっきり間違えていました。本当に恥ずかしい、、、
      王様さんはちゃんと勝ったときのご褒美が300円でやっていましたね。済みませんでした。

      トピ内ID:0397630260

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      トピ主のコメント(4件)全て見る
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