ボトックスの経験者ではありませんが、ご参考までに。

私も腋臭です。
小学6年生の体育が終わった時、初めて気付きました「なんか臭い」と。

完全な遺伝で父が腋臭でした。
母は、幼い頃から私が腋臭になると思い、すぐに皮膚科につれていってくれました。

皮膚科から処方される薬は、市販のものよりも何倍も効きます。
透明の液体の物です。皮膚には、刺激が強い物で、医者は、ナカナカ処方したがらないかもしれません。
※私の経験からすると、今のところ、市販の物は、石鹸からスプレー、塗り薬まで全て試しましたが丸一日臭いニオイ無しで過ごせた試しはありません。

思春期の中学生からは、朝一番にお風呂に入り、お風呂からあがったあとつけてました。体育の後も臭いませんでした。※水泳除く
（その透明の液をガーゼにつけ、ワキをふき取ると一日においません）

多分、これが無かったら、陰湿ですぐに人の足を引っ張りたがる意地悪な女集団にいじめられていたと思います。
理由は、透明の液体をつけていかなかった日、私の方によって来て、臭いと騒いでいたからです。

一度、かかりつけの皮膚科医にご相談されてはいかがでしょうか？

実はうちの娘も匂う子でした。
幼稚園くらいから気になり始め、小学校低学年の時にはちょっと汗をかいただけで結構きつく匂っていました。
うちの子の場合は主に頭皮と脇でしたが、毎日シャンプーしても消臭スプレーをしてもその場しのぎな感がありました。
でも今年に入ってから、毎日プレーンヨーグルトを食べるようになってから、徐々に匂わなくなってきました。
腸内環境が良くなったためだと思います。
もともとはアトピー対策で食べ始めたのですが、思わぬ別効果でした。
ちなみにうちの子が食べているのはブ○ガリアヨーグルトですが、それ以前にもヨーグルトはよく食べていたのに効かなかったので、加糖のものよりプレーンタイプのものが良いのかもしれません。
参考までに。

私も腋臭です。
中学生くらいの時に気付きましたが、何とか自己ケアで乗り切りました。
今は30代半ばで、思春期の頃に比べて大分落ち着きましたが、それでも徹底した自己ケアはかかしていません。

息子さんはまだ成長期ですから、今手術を薦めないという美容外科は良心的だと思います。ボトックスは保険適用外の処置なので保険はききませんし、半年くらいの効果で一回につき10万円前後かかります。（病院によって異なります）どうしても気になるのならいくつかの病院を回って色々話を聞いてみる事だと思いますが、金銭的にはかなりの負担になります。
保険で出来るのは手術のみです。（方式は色々あります）小学生のお子さんで手術に踏み切られた例もあります。「わきが　子供　手術」などで検索してみて下さい。
但し、そこに至るまでには色々な意見も考え方もあると思いますので、一概に手術すればいいと言う物ではないと思います。
私も一時は真剣に考えましたが、生活面への負担（手術すれば当分は腕の固定が必要になりますので、仕事の長期休みが必要）、再発のリスク、自己ケアの負担とのバランス等々考えて、手術はしていません。続きます。

お子さんが女の子であれば自分でもかなり気にすると思いますが、息子さんで、しかも小学生であればまだ意識は低いでしょう。でも、お母さんが余り騒ぎ立てすぎれば、自分が何か悪い事をしているかのような気分になるかもしれません。臭いがきつい事を、ストレートに余り本人に向かって言わないで上げて欲しいな、と思います。
腋臭は悪い事ではない事。病気ではない事。ただ、ケアを怠れば自分も周りの人にも嫌な思いをさせる恐れがある事を、息子さんを傷つける事のないように、まずはゆっくり理解させてあげて欲しいと思います。

まずは自己ケアを徹底してみて、手術等はゆっくり考えて下さい。
私は、毎日ドクターデオドラントのミョウバン石鹸EXを使って体、特に脇を洗います。寝る前にはもう一度制汗剤のついたシートでふき取り、クリニークのアンティパストロールオンを塗ります。
朝はシートでふき取り、上記のロールオンを塗り、8×4スプレーもかけます。下着は汗わきパット（消臭効果のあるもの）のついた肌着をつけ、脇に密着する服の時は必ず汗わきパットを貼ります。もちろん脇は脱毛済みですがこれは息子さんには難しいかもしれません。

さらに続きです。長くなってすみません。

とにかく清潔にする事、こまめにケア（水のついたハンカチでふき取るだけでも違います）する事です。
今は昔と違い、色々と効果の高いケア用品がたくさん出ています。クリームは面倒だと思いますので、息子さんの負担が軽くなるようなケア用品を色々探して試してあげて下さい。
私は肌に合わなくて使えませんでしたが、「デオナチュレ」のシリーズは安価で結構効果も高かったです。

腋臭はその本人が意識して嫌だ、何とかしたい、という気持ちを持たない限りは、ケアするのは面倒な事でしかありません。
小学生のお子さんには難しい事かもしれませんが、これから成長していくにしたがって、その事で卑屈になったり、かわいそうな思いをする事のないように、お母さんがまずは落ち着いて、落ち込まないようにして下さい。
親が自分の事で悩んでいるのが、気にならない子供はいません。
私も経験したことだからこそ思う事です。
どうか頑張ってください。長文で失礼しました。

結構知っている方もおられると思いますが、「五味クリニック」で検索していただくと、ＨＰににおいの抑え方や対処法など先生がわかりやすく説明していますので、何か参考になればと思い書き込みしました。
こちらは体と心身の両面から体臭のケアをされています。
確かボトックス注射についても書かれていたと思います。

あと、においを抑えるのに消臭下着なども有効かと思います。
これでしたら着せてあげるだけでいいですし、見た目も普通の下着とあまり変わりません。
ただ、大人用はあるのですが子供用の消臭下着は見た事がありません（書いておいてすみません）。
でも今の子供は大きいですし、聞いてみるだけでもいいと思います。

一応書いておきます。
セーレン株式会社の「瞬間消臭下着」です。
ＨＰの質問の所に、多様なにおい（排泄臭、わきが、加齢臭・・・など）に効果があると書いてありました。
携帯では質問の答えが見れないので、パソコンから見る事をお勧めします。

アメリカに住んでる５７歳のハーフです。　僕も小学校５年頃から、そして白人の父親もワキガです。
５年生の臨海旅行では、保健の先生が生徒の脇に挟んだ体温計を一本ずつ診て回って、その時にはワキガの臭いに気づかれるかとはらはらしたしたことは今でもはっきり憶えています。

今は発汗抑制剤　(anti perspirant) を1970年頃からずっと使っています。　風呂（シャワー）上りに薄く擦り付けるだけで２，３日間は持ちます。　以前はデオドラントを使っていましたが、それはワキガの臭いを香水とアルコールでごまかす様なもので、２，３時間程しか持ちませんでした。
ここ米国には色々な発汗抑制剤が売られていますが、僕が使って一番いいと思うのは有効成分が　アルミニウム・ジルコニウム・テトラクロロヒドレックスグリシン (auminum Zirconium Trichlorohydrex GLY)　の物です。　ただ、発汗抑制剤の副作用なのかはわかりませんが、時々腋が物凄く痒くなる時がありますが、他に問題はありません。　スプレーよりも扱いやすい　スティック　タイプをお勧めします。　

　腋臭って遺伝するんですよね・・・。私が軽いのですがそうで、夫も・・・だったのです。付き合っていた頃からこれは絶対子供は100％だと思い悩みました。（結局結婚しましたが・・・）しかし、友人に教えられ今は家族でデオクリスタル（アルム石を使用したもの）という製品を使用しています。
透明の石のような塊で（スティックタイプやコットンタイプなどもありますが）水に濡らして脇や胸などをこするだけ。臭いも1日中抑えられます。娘は今17歳ですが全く臭いません。汗かきで臭いがきつかった夫も使い出してから気にならなくなりました。製品自体無臭ですし臭いでごまかすものとも違い、体臭を化学的に抑えるもののようです。ネットで『デオクリスタル』と入力すると出てきますよ。本当に臭わなくなりましたよ一度使ってみてください。