どでかいスクリーンで、映画はどうでしょうか？
映画館によっては、ヨーロッパの映画や、地味だけど素敵な映画もやっています。

私は漫画喫茶はあまり使用しませんが、歌舞伎町にaprecioという綺麗な漫画喫茶があります。
でも、歌舞伎町という土地柄女性一人という条件なので勧めにくいかも。
スタバとかもありますが、ファミレスはどうですか？
新宿にも数店舗あります。
東口側にジョナサンが2店舗(駅から徒歩5～10分程度)、西口にサイゼリヤ(ヨドバシそば)、南口にサイゼリヤ(西口サイゼリヤからも5分くらい)が
ありますよ。食事もしたいなら、尚OKじゃないでしょうか。ドリンクバーで時間もつぶせますし。

新宿駅近くには結構新しくてこ綺麗なシネマコンプレックスがいくつかあります。それぐらいの時間帯の回もありますから、ドリンクと軽食を買って好きな映画を見ては? チケットショップで安い券を買えば映画自体は1200円位であるのではないかと思うので、それに飲食をプラスして2500円もあれば足りそうです。

お腹を満たし、ひたすら安ければ安い程良いというのであれば、他の方も書かれているサイゼリヤが新宿駅界隈に数軒あります。好きな本を用意してサラダ＋パスタ＋グラスワインで1000円ですみますね。それにドリンクバー180円つければお腹一杯ソフトドリンクも飲めます。

東京ドームそばのラクーアはどうですか。
温泉施設です。
http://www.laqua.jp/spa_s/index.html

うろうろしなくて済むし、食事もとれます。
駅のすぐそばなので迷うこともないでしょう。

具体的に「ここ」っていうアドバイスでなくてすみませんが…
温浴施設はいかがでしょう？
広いお風呂やサウナで汗を流したら、休憩室のベッドでごろごろ休めます。女性専用休憩室があるところもありますよ。

三越のワイアードカフェが24時まで開いています。客層は女性同士やカップルが多いようです。
http://www.wiredcafe.jp/shop_shin_mitsukoshi.html

女性専用のスパ(サウナ？)は、如何でしょうか？
新宿といっても、歌舞伎町方面にはなりますが、何件かあります。
ルビーやWillは、韓国料理のレストランも併設されてますし、休め所もあり、ゆっくり出来ますよ。

私だったら六本木ヒルズへいって展望台+深夜営業のレストラン+映画見る
またはお台場の大江戸温泉物語に行きます。
でも疲れたくなくてお金節約ならネットカフェが無難かな？

皆様のレスにもありますが、私も「３時間」時間つぶすなら
スパ（温泉ランド）
（贅沢バージョン）→マッサージ
（お手軽バージョン）→インターネットカフェ
ってところかなと思います

夜１２時からの行動予定が謎ですが、例えば高速バスで移動するとか
なら、ゆっくりお風呂入っておいてあとは爆睡、というのもなかなか至福かなと思います

温浴施設系なら（入浴だけなら２０００～３０００円程度）水道橋のラクーア、東池袋のレスタ、新宿（新大久保より）のルビーパレスなどがありますし、
漫画喫茶ならそれこそどこにでもありますが、たとえば新宿駅南口なら
マンボーとかが大きいかな。ネットカフェはどこも個室だし、女性専用スペースがあるところも多いので、周りが気になることもないと思います
予算は３時間で１０００円くらい。

発言小町みたりなんだりで、３時間くらいは割とあっという間だと思います