以前に、コールセンターの管理者をしていました。
そんなに人数が居ないのに、一時期、同姓で同性の人がいました。

しかし、困ったことは有りませんでした。
理由としては、お客様には、「問い合わせ番号」をお伝えし、
再度のお問合わせ等の場合には、「問い合わせ番号」を言っていただいていたことと、
問い合わせ内容を記録・検索できるシステムを使っていたため、
お客様番号やお名前や連絡先から、お客様の過去の問い合わせ履歴を
すぐに確認できたことが理由と思います。
私がいたコールセンターは、トラブル系が多く、1回の電話で解決するとは
限らなかったことや、お客様が一般消費者ではなかったので、
必ずお客様番号や名前、連絡先を確認することができました。

時々、家電のコールセンターに電話すると、こちらの名前を記録している
ふうでもなく、最後に「○○がお受けいたしました。」とだけ
言われる場合があるので、そういう形態ですと、お問い合わせの内容や
お問合わせ日時などで、記録を検索するしかないから大変そうですよね。
ナンバーディスプレイで電話番号も記録するとかはどうでしょう？

困るのは以前にも問い合わせをされてきたお客様から二度目以降、指名コールがあった場合ですよね？

トピ主さんの勤務先では、お問い合わせがあった際に、お客様の問い合わせ内容の履歴を確認しないのでしょうか？
お問い合わせ内容を記録してないってことはないですよね？

私が以前所属していたコールセンターは規模が大きかったので、同姓なんていくらでもいましたが、トピ主さんのようなお悩みが発生するなんて考えたこともありませんでした。

そもそも、前回の担当者に代わるということ自体、お客様からどうしても前回の担当者と話をしたいという強い希望があった時だけで、大抵は履歴を確認して問い合わせ内容を把握すれば電話を代わる必要もないことが多く、クレームとかよほどややこしい内容でもない限り、ほとんどが出た人が対応して終わってました。

お疲れ様です(笑)。
以前の職場で同じ状況がありました。

お二人とも未婚ですか？
この場合、先に居た方がやはり優先になりますから、後から来た方が既婚の方ならば、旧姓を名乗って頂いたほうがよいのではないでしょうか。

また、別の場所では、後から来た方には住んでいる町名で名乗っていただいた事もありました。これはご本人に納得頂いてからの話でしたが。

何にせよ、新人の方ともお話をし、お客様に対してご迷惑にならないようにしなければいけませんね。

既婚ならば旧姓を，二人とも折り返しをもらう電話本数が少ないならば，フルネームを伝えさせるようにしないとですね。
社内では下の名前で呼ぶようにすれば いかがでしょう？

　コールセンターで受信の仕事をしたことがあります。

　同姓の人は、後から入る人が「同姓の方がいるので、受信のさい、違う芸名を名乗ってもらえない？？」と、OJTに着く前の研修の時点で打診されていました。
　芸名も重ならないように、決めていましたよ。
　

　電話に出る際に名乗るのが決まりでしたので、自分でも苗字が言いにくいなども芸名対象でした。

　後、パソコンの上に自分の名前の紙をぶら下げて受信していたのですが、本名の人は漢字表記、芸名の人はカタカナでの表記にしていましたよ。

　
　

どんな内容のコールセンターかわかりませんので、今まで私が経験した職場での方法です。ご参考まで。

通常コールセンターですと、業務前にＰＣと電話にログインするものだと思うのですがそういったことはされていないのでしょうか？
そしてお客様と話をしたら内容を一通り履歴として残します。

お客様が「以前、男性の○○さんと話した」とおっしゃったら、お客様の名前から検索すれば誰としゃべったかはすぐ分かります。
また履歴を残すことで後で「言った言わない」になりません。

システム的にそれぞれにログインし、履歴を残すことが不可能であれば、今どきナンセンスかもしれませんが紙ででも履歴を残すことをお勧めします。

昔働いていたコールセンターは１フロアに２００人以上いました。
田中さん、鈴木さん辺りは（パートさんを含めると）何人もいるので、
同姓の方は「芸名」で受発信していましたよ。
福山雅治ファンの女性は「福山です」と言ってたし。
周りにも「福山にします」と言ってたので、フロア内で通用していました。
まあ大フロアだけど、各部署に分かれていたのでOKだったわけですが・・・。

ご参考までに。

お客さんにはみな鈴木ですと名乗りますが。
応対の履歴（パソコン）には鈴木Ａ子、Ｂ子、Ｃ子と自動的にインプットされるので区別は付きますよ。
書類にも区別付くように記載します。
大規模コールセンターではよくある事です。

以前大手の金融機関のコールセンターで働いていましたが、やはり他の方がすでに書かれているように画面の履歴で区別していました。また問い合わせのみで履歴が残っていない場合は、該当のオペレータに（同姓なら数人に）SVなどがこんな問い合わせを受けなかったか確認していました。

フルネームについては、安全上の理由か何だか分かりませんが「名乗らなくていい」と指導されていました。中には聞いてくるお客様もいましたけど「申し上げられません」ときっぱり断ってました。なのでフルネームでと言われたら私なら抵抗感を感じます。

大規模のコールセンターにいました。業務内容がわからないのでなんとも言えませんが、他の方もおっしゃっているように、同じオペレーターが指名で電話にでることはありませんでした。シフト制でしたし、出た本人にしかわからないという内容はマニュアル上、ありえませんでした。
指名された人にしかわからない内容でなければ、「○○は本日出張にでておりますので、私がお受けいたします」とか、「他の業務についておりますので」とか、やんわりと電話を受けた人が引き継ぐように対応すればいいのではないでしょうか。
前に受けた人にしかわからない内容なら、端末ですべて確認できるように仕事のシステムを改善する必要があると思います。