来年度から小学生って・・この4月からってことですか？
学校の年度は4月から3月までなので、そういうことになるのですが。
でも、トピ主さんのお子さんは「来年の」4月から小学生ってことでいいのですよね？

首都圏というのが漠然としていてどちらにお住まいになるのか分かりませんが、これから引っ越してお教室決めて秋にお受験では間に合わないと思います。
私立小学校を考えている方は、遅くても年中に上がるころからお教室通いしていて、もう今頃は志望校も決まっているんじゃないですか？

都会＝多くの子が私立というイメージを持っているかもしれませんが、ほとんどの子が公立の小学校に通っているので、公立でいいと思いますよ。