トピ主様は中途半端にできない真面目な方ですね。
御自分の気持ちが会社に甘えられず、
気をつかってしまうのなら、
お辞めになった方がいい
と思います。
仕事をするしないは本人の問題です。
特殊な仕事以外は誰が辞めてもなんとかなるものです。
会社としては他の人をまた一から教えるには
大変だから単に引き留められているのだと思います。
今一番自分の代わりができない物を優先順位に考えると
答えは自然にわかると思います。
がんばってくださいね。

わたしもあなたと同じように会社が辞められなかった
人間です。
でも、真剣に考えてください。
仕事と親のこと･･どちらが本当にあなたにとって大切
ですか？
天秤にかける時限でもないと思いますが･･･

上司や周りの人間が何と言おうと強い意志をもって！！
自分の気持ちを素直にぶつけてみてください。
その気持ちは決してわがままなんかじゃありません。

わたしも以前、あなたと同じ状況だった人間です。
できないことはありません。
わたしみたいな弱い人間ができたのですから･･･

あなたが会社が辞められ、素敵な笑顔が戻ってくること
を願っています。がんばってくださいね。

近々転職する予定の者です。

トピ主さんの話ですと、とにかく「辞める！」としか言っていないように見えます。今すぐ辞められるとご上司は困るのではないでしょうか？
自分が抜けた後のことについてケアはしています？

私は、専門職ではありませんが、今の担当が誰でもすぐにこなせる仕事ではない（多少経験を要する）ため、引き継げる人を（言い方悪いですが）用意しています。

辞める何日前に意思を伝えれば退職できる、等の規定があると思いますので、状況が状況だけに最終的にはそれを行使すべきだとは思いますが、円満退職を望むのでしたら、辞めた後の事も考えて相談してみるのが良いと思います。いかがでしょうか。

上司に口頭で言っても通じません。
文書で出しましょう。
「退職届」を書いて提出します。
そうすれば会社側はある期間内（１ヶ月以内等）に認めなければなりません。
このときに「退職願」ではいけません。
必ず「退職届」と書きましょう。

私も、退職を申し出た時、相当に引き留められました。

というのも、私は師長ではありませんでしたが、師長と同じくらいに、委員会や学会係も担当していましたし、新人指導の係でもありました。
それに、夜勤も入っていました。

私が辞めると、学会発表用の研究も止まるし、新人の夜勤デビューに組ませる人がいなくなります。
おまけに、監査が入ると、「基準看護を満たすためには、ベッド数を減らさないといけない」という状態でもありました。

私としては、家族の看護のために、早く辞めたかったのですが、ベッド数を減らされて困る患者さんの事を考えて、次の採用者が来るまでは働きました。

同じ頃に、医療事務の方も、退職を希望したのですが、彼女も引き留められました。

でも、その理由は、「再来月に検査技師の募集を出すから、それに合わせて、医療事務の募集も出したいから」というものでした。

同じように引き留めていても、その理由は様々だと思います。
トピ主さんを引き留めようとする企業側の理由は、トピ主の家族を思う気持ちよりも、尊重すべきものなのでしょうか？

トピ主さんの文面を読むと、大変、真面目で几帳面な性格が窺えます。会社にとっては、貴女は非常に貴重な人材なのでしょう。

付き添いは毎日、長時間必要なのでしょうか？そうでなければ、時短勤務に変更を申請してはどうですか？私の部下で、優秀な人が同じ状況になれば、半日勤務、若しくは、週二十時間勤務等に変更可能か、私も上司に掛け合います。

トピ主さんも、上司と一度話し合ってみて下さい。トピ主さんは、付き添いを会社に気兼ね無く、会社も貴女をキープする事が出来て、双方にプラスと思います。