プロとして国語を指導しているものです。
私にとっては飯の種なので、生徒に有料で指導するほど詳しくは説明できませんが。

連文節というのはわかりやすく言うと｢切り離せないひとかたまり｣ということです。
例文で言えば｢青い｣は｢鳥が｣の前以外に置けないけれど、
｢美しく｣は必ずしも｢鳴く｣の前でなくてもいい、
｢青い鳥が、美しくかごの中で鳴く｣とも言えます。

文法用語で説明すれば、連体修飾語は常に被修飾語である体言とひとつになって連文節を作るけれど、連用修飾語はその限りではない、ということです。

これ以上のこと、または上記の文法用語がおわかりにならないのであれば、塾や家庭教師の先生に説明してもらったほうがよいと思われます。
トピ主さんは中学生さんですか？
子どもさんなら、もう少しご相談に乗ることは出来ると思います。

「かごの中で」は、例えば「中でかごの」としたり、「かごの」だけ別なとこに持っていったりはできませんね。
「かごの中で」はもうそれで一まとまりです。だからこれで修飾部。

が、「美しく鳴く」の「美しく」は、「鳴くの」前につけなくても、例えば「かごの中で」の前につけてもいいわけです。
「美しく」も「かごの中で」も、述語に対する修飾で、かたや一語だから「修飾語」、かたや連文節だから「修飾部」になってるのでは？？

でもそういう考え方だと、「述部」なんて存在しなくなっちゃいそうだから、違うかも。。。

述部になるとおもいます。
「部」なのか「語」なのかの違いで、トピ主さんの解釈であっていると思いますよ。述語＝鳴く、述部＝美しく鳴く

英語でしか、文法わからないので的外れかもしれませんが、英語で考えると簡単です。

A brue bird sings beautifully in a basket.
英語で直すと　主語＝Bird（鳥）、述語（同時）＝Sings（鳴く）、他の単語（冠詞、接続詞は除く）は修飾語。

主部＝A Brue Bird（青い鳥）
述部＝Sings Beautifuly（美しく鳴く）

「主部」や「述部」のように「部」としていわれものは単語２個以上でなるもの（冠詞を除く）。よって、「述語は？」ときかれたら「単語一個＝Sings（鳴く）」「述部は？」ときかれたら「Sings Beautifuly（美しく鳴く）」

青い＝形容詞、美しく＝副詞、鳥＝名詞、鳴く＝動詞

単語の性質で考えた場合、「主語」になるのはたいてい「名詞」
「述語」になるのはたいてい「動詞」です。

　例文：　青い鳥がかごの中で美しく鳴く。


文節に分ける場合の簡易テク：「ね」挿入　を行ってみると、
　　　↓

　青い鳥が ね～　かごの中で ね～　美しく ね～　鳴く よね～。

よって、区切りは、
　　　↓

　青い鳥が ／ かごの中で ／ 美しく ／ 鳴く

となるのデステニー。