市役所の相談室などで聞くと詳しく教えてくれるでしょう。

多分、借地権があって、営業は続けられると思いますが。

どこで聞いても答えはひとつでしょう。
競売物件は、それを落札した人のものになるわけですから、その人がどうしたいのかによります。

賃貸物件とするつもりで落札したのならば当事者同士の話し合い次第で可能性はありますが、自分で使うつもりだったなら難しいでしょう。

してください（各地の弁護士会に問い合わせると良いと思います）。不動産競売は、買った人から代金が支払われるまではもともとの所有者のものですが、開札を迎えてしまうと、当事者（債権者と債務者）間では取引を止めることはできなくなってしまうはずです。その後買い受けた人とトピ主さんの実家との間で立ち退きの話し合いをすることとなり、出て行かなかった場合は多分買い受けた人が法的手続きを取ることになると思います。なので、この立ち退き時点で何か交渉をすることができるのかとか、その前に差止めができるのかとか、きちんと問題点を整理して弁護士に聞いてくださいね。３０分５０００円程度です。

現段階では何ともできないでしょうね。
競売が履行され、落札者が落とせばその人のものになってしまうのですから。

落札者はそこを潰して新しい建物を建てる可能性もありますし、そのままにして例えば賃貸に出す方法もあります。
または、落札者がそのまま使用することも考えられますよね？

競売になってしまう・・ということは、もうトピ主さん側の主張は殆ど通らないと思っても仕方ないと思います。

ただ、望みとしては、落札者が決まり、その落札者との話合いで、ご両親がお店を続けて
いくこともできる場合はあるとは思います。
その際には、新しい所有者（落札者）に家賃を支払う、つまり賃貸契約を結ぶことです。

しかし、上記にも書いたように落札者の意向はどのようなものか、またどんな人が落とすかは現段階ではわかりません。

落ちたあとに必ず落札者との話の機会（引越し等の内容）がありますので、続けていきたい意向を言われてみてはどうでしょうか？