羨ましいです。その幸せ、少しでいいんで分けて頂けませんか？

・・・と冗談はここまで。

おそらく現在はあなたが戸籍筆頭者でしょう。戸籍上ではお子さんのご両親は前のご主人とあなたの名前が載っています。この状態で結婚なさると、戸籍は同じでも他人です。住民票（戸籍筆頭者でなくても世帯主にはなれる）上も「妻の子」と記載されるかもしれません。

そういったことと、相続のことを考えると養子縁組はした方がいいです。あくまで「ご主人の姓が変わる」だけですので。戸籍には「養父」と載りますが、住民票は「子」ですよ。

なので私の苗字で婚姻届を出そうと思っているのですが、その場合子供は苗字はそのままだと思いますが、彼との養子縁組はやはりしないと相続や養育の義務等は発生しないのでしょうか？＞はい、そうです。相続権や扶養の義務は養子縁組をしないと存在できません。
姓については、独立事項なので、貴女がお相手の姓を名乗ろうがが貴女の姓をお相手が名乗ろうが、お子様の姓は別の手続きをしなければ変わりません（離婚経験者ならおわかりの事と思います）
ただ、お子様は自分の意思で選択のできる年齢です。
（養子縁組はいつでもできます）よく話し合ってくださいね。

彼からお子さんへの相続や養育の義務は、養子縁組しないと発生しません。
それは、結婚が彼の名字であってもあなたの名字であっても同じです。

で、あなたの名字で結婚した場合。
彼があなたの名字になります。
その後お子さんと養子縁組するのですから、お子さんの名字が彼の名字
（つまりあなたの名字）になるので、結局お子さんの名字は変わらない、
ということになります。

男女二人の子どもを持つ山田花子さんが、初婚の鈴木太郎さんと結婚します。
花子さんの結婚後、お子さんが山田姓のまま、鈴木太郎さんと法律的に親子の関係になる（これが質問の主眼でしょう）ためには、

1)花子さんと太郎さんが婚姻届を出す時「妻の姓」を選ぶ。
2)婚姻届受理後、二人の子どもと太郎さんの養子縁組届を出す。この時、養父の氏名は「山田太郎」。

が必要です。

1)2)は同時に役所に届けられますが、養子縁組届は婚姻届の受付後の扱いで。

これらの手続き後、山田花子さんの戸籍簿には、筆頭者（花子）、長男、長女、夫の順に名前が並、長男と長女の名前の横に、「父」「母」に続き「養父」として「山田太郎」の名前が記載されます。


ご質問からはズレますが、住民票の扱いについて。

住民票の続柄は世帯主からみた関係を表します。
配偶者は「妻」「夫」。世帯主の子どもは「子」。
再婚痕、配偶者の連れ子と世帯主が養子縁組した場合、子どもは「子」。
配偶者の子どもと世帯主が養子縁組していない場合は、子どもは「妻(夫)の子」または「同居人」。

続きます。

婚姻・養子縁組と同時に住所が変わる場合、戸籍の手続き→住所の移動届の順で。

・結婚と同時に新居へ（他市町村へ移る場合）

太郎さんの転出証明書は鈴木姓のまま。転入手続きの前に婚姻届を提出、受理証明書を発行してもらい転出証明書に添えれば転入届は「山田」姓で記入できる。

山田太郎さんの世帯に花子さんとお子さんが「妻」「子」として転入するには、養子縁組届を出し、受理証明書を発行してもらい、それを添えて転入届を出す。

※戸籍関係と住所関係の届けを同じ役所で手続きするなら、受理証明書は省略かも。

・花子さんとお子さんが引っ越さない

学校の関係で花子さんが引っ越さず、太郎さんが転入→世帯主になる。

太郎さんの転出証明書が鈴木姓なら、転入届を出す前に婚姻届・花子さんのお子さんとの養子縁組届を提出。

転入届受理と同時に「世帯主変更届」を出す。

・太郎さんが引っ越さない

婚姻届を出し、太郎さんの住民票を山田姓に変更。

花子さんのお子さんと太郎さんの養子縁組届受理後に、花子さんとお子さんの転入届を提出。世帯主との続柄は「妻」「子」でＯＫ。