はじめまして、渋谷在住の者です。
東急井の頭線上のマークシティの中は渋谷のなかでも比較的混雑を避けられます。
以前2歳の甥とその中のイタリアンで食事をしましたが、店員さんも親切でしたし、割と子連れの方を見かけることも多いです。
渋谷駅の近くですとお昼時はどうしても混雑しますし、チェーン店が多いので渋谷じゃなくても食事の出来るお店が多いです。なので、例えばデパ地下でお弁当を買ってハチ公バス（大人100円）に乗って代々木公園でランチするとか、東急トランセと言うバスが南口から出ていて、代官山方面へ行く道沿いに何件か手ごろなレストランが車窓から見えるので（代官山は電車のほうが速いし安いのですが）途中下車の旅気分で散策しながら食べたいものを探すのも面白いと思います。
いかがでしょうか・・・

渋谷界隈に数日間いらっしゃるのでしたら「こどもの城」を訪問してください。絶対お勧めです。
中にある「アンファン」はお子様向けメニューがたくさんあります。

こどもの城HP
http://www.kodomono-shiro.or.jp/index.html

こどもの城のある辺りは青山です。表参道・原宿が近くです。ここらを散策するとお母さんは元気になれますよ。（渋谷よりお勧めです）
お母さんのためのHP
http://www.enjoytokyo.jp/OD005Area.html?AREA_L1_ID=8

年長の息子が青山の子供タレント事務所に所属していることもあり、青山や原宿にレッスンやお仕事の帰りによく寄ります。
ランチをぬきにしても、こどもの城は本当に楽しいところなので、ぜひ足を運んでほしいです。息子は赤ちゃん時代から、お世話になっています。月曜日はお休みなのでご注意ください。
あちこち見てまわるなら、坂があり、人も多い渋谷より青山や原宿をオススメします。ランチはベルコモンズ６Ｆの「梅の花」によく行きます。個室で店員さんもみな親切ですし、豆腐中心の和食は子供でも安心して食べられます。中華なら外苑前の「龍府」が安くておいしいです。ここの辛さ控えめにしてもらったマーボチャーハンは息子の大好物です。平日１３時過ぎならすいています。オモサンのキディランドで買い物して、バンブーあたりのカフェでサンドイッチをつまむのもいいですね。

複合ビル「ピカソ３４７」はいかがでしょうか。
東京都児童会館に隣接していて、「こどもの城」にも近いです。

ちなみに、数年前、私の友人はこどもの城で美智子様を拝見したそうです。そういえば、愛子様も教育、経験の一環としてこどもの城へお越しになるとかならないとか。
こどもの城は、とても楽しめる場所ですので、ランチは別としても時間があればぜひ寄ってみてください。

３４７ビルは、渋谷駅から徒歩で５分程度なので、柄の悪い喧騒の中を延々と歩く必要もないですよ。
ビル内には「アンティーブ」など小さい子はそぐわない静かなレストランもありますが、カフェやビストロなどカジュアルなお店もあります。

カフェにはオープンエアのテーブルもあります。
お天気さえ良ければそちらを利用すれば室内と違い子供の様子も目立ちにくいし、声も響きにくいと思います。

　渋らーさん、多摩川さん、イマダさん貴重な情報をありがとうございました。東京は仕事でしか行ったことがないので困ってました。ハチ公バスってはじめてききました。確かに電車とかでゆくより街のながめは楽しめそうですね。お天気が良かったら公園でランチも考えてみます。こどもの城もHPをみるととても楽しそうですね。こども連れだと青山から表参道あたりを散歩したほうが親子ともども楽しめそう。お勧めのお店には多分行きます。外食で毎日すごすのは楽しいようで結構大変なんですよね。渋谷周辺はあまりぶらぶらせずにゆっくりできるところにお出かけすることにいたします。ありがとうございました。

私もこどもの城は
娘が小さい時によく利用していました。
私もこどもの城、オススメします。

それから、神宮外苑もオススメです。
オープンテラスになっているレストランや
カフェもありますし、スポーツイベントが開催されていたら、駅から外苑までの通りで
沢山お弁当を販売しています。
児童遊園やいちょう並木でお弁当というのも
のんびりできて良いのでは。

もしお子さんが野球を好きなら
大学野球を見ながら
お弁当というのも良いかもしれません。
バッティングセンターで親子で汗をかくというのも
健康的ですネ。

神宮外苑はいちょう並木が有名ですけれど
GWの頃は緑がとてもキレイですヨ。
神宮外苑のHP→http://www.meijijingugaien.jp/

とにかく渋谷の駅からは
離れた方が良いと思います。
あの渋谷の人混みを歩かせるのは
お子さんが可哀想です。