経験から言うと、値引き交渉は大いに有りだと思います。
私だったら例えば一部足場が共有する事で、10万円安く工事が出来たのであれば
業者さんに、トピ主さんとお隣さんで５万円ずつ値引きしてもらいたいと交渉します。

トピさんの考えは当然です。
あたり前田のクラッカー。
まけてもらいましょう。
まけないのであれば、お隣の施工は一度足場をばらしてから
実施してもらいましょう。

２軒の間に等距離で足場を組んでいた場合は使うかもしれませんが、
そうでなければ、同じ足場で塗装は無理ではないでしょうか。
作業するのに、ふさわしい距離があると思います。

以前、我が家で外壁塗装をしたときに、終わった後なかなか足場を片づけようとしませんでした。
数日あとに、他で使うので倉庫にしまうより、我が家から直接外して持って行きたいから
そのままにしておきたいというのが業者の言い分でした。
しかし、足場を組んだまま１週間も放っておかれると鬱陶しいというより犯罪を心配しました。
昼間不在時に足場を伝って泥棒が入ってきても怖いし、夜も不安で眠れませんでした。
それで、業者に足場の撤去をしないのであれば、その間ホテル住まいをするのでホテル代を出して欲しいと
言ったところ撤去に来られました。

足場が桜子さん宅の敷地内にあれば、改めて隣の敷地に組直すのが通常だと思います。
桜子さんも、お隣のために使われるのが嫌であれば、撤去をお願いすればいいと思います。
どうしてもそのまま足場を使うのであれば土地の使用料を提示してみられてはいかがでしょう。

＞お隣さんは、多少足場代がお得になります。

足場は、普通レンタルで、使う日数ぶんの対価が必要です。
トピ主宅が終わるまではトピ主負担、隣家塗装中は隣家負担となるのが普通です。

但し、隣家との間部分だけは「解体と組み上げ」の手間が一部不要になるかも知れません。（作業面側と後面とでは構造が違うことが普通です。作業面側は、作業の都合に合わせてあるので、隣家用にくみなおす必要があるかも。またカバー幕は張り替える必要があります。）そして、残り3面は全部組み換えです。
若干の値引きは双方に対してあるかも知れませんが、あっても微々たるものでしょう。

まずは、業者と話し合ってみましょう。

見積もりの明細はありますか？

そこに足場に関する費用が載ってるはずです。
その分のうちいくらかについて、値引きが出来ないか頼んでみてもいいと思います。
業者は足場を再利用できるばかりか、思いがけず仕事が舞い込んでることですし。

ただ、足場の再利用は家の４面のうち１面だけですよね。
それに、再利用だから作業はちょっとしにくいかもしれません。
そこを踏まえてならば、交渉するのは不思議でないと思います。

考え方が変だろうと業者に対する値引き交渉は
別に変なことではありませんし
納得いかなければ説明を求めるといいと思います。

個人的には考え方が変とは全く思いません。

ただし一面だけですよね？
少し浮くならお互いラッキーですし
業者に相談されたら良いと思います。

「お隣さんと一部足場共用になるんですよね？お代ってどうなるんですか～？」素朴な疑問として聞いてみてもいいのでは。

その業者に言っても良いと思います
お隣さんは、作業も後発でトピック主さんの
作業が終わった後も足場が必要なのでは？
土地使用料を含めて、値引き交渉をするべきです。

足場代って「この部分が何本でいくら」みたいな明朗会計なんですか？
だったら業者さんに言ってみるのもいいと思います。
「この部分は半額でいいですよね？」と。全然普通かと。

もしかしたらお隣と業者の間で「あの足場がそのまま使えるからお得ですよ！」みたいな勧誘があったとしたら
ちょっと面倒ですけど。ま、儲かるんだし、突っ込まれた以上は業者がかぶればいいんじゃないでしょうか。