タイトルを前提として書きます。

体の外からの影響と仮定した場合、顔に触れそうなものを徹底的に調べて下さい。
香料の入った石鹸やウエットティッシュを使っていないかどうか。
基本的に余計な物を使わないように心掛ければ原因を取り除けるかもしれません。

口から入る物と仮定した場合もそれらを調べる必要があります、母乳を与えているとの事なので、できるならその検査、あるいは母乳をやめて様子を見てみるなど。

アレルギー検査ですが子供の内は正確に出にくいと医者に聞いたことがあります、卵や犬に気をつけるのはもちろん、他のアレルギーの可能性も考慮して下さい。

ただ基本的に素人判断で色々試すのは良くありません、まずは使用するものを減らす方向で考えて下さい。

うちの子も産まれて１カ月ほどした時に
顔中赤い湿疹が出来て、健診の時はせっけんで良く洗ってあげて
と言われてそうしていたらもっと酷くなり、
アレルギー科併設の小児科で１歳になるまで塗り薬を貰い、
定期的に通って効果を見ながら治しました。

トピ主さんも先生によって言うことがマチマチなので心配なのでしょうが
ここで相談しても何も解決しません。
小児科もあちこち行かずに、アレルギーかもと言われたのなら
そこへまた行って相談してみたらいかがでしょう。

ところで卵アレルギーとのことですが、卵そのものだけではなくて
卵が原材料に入ってるものはすべて口にしないようにしてるのですか？

息子が8カ月ごろ、同じでした。
離乳食は２回ぐらいだったかな…

アレルギー検査、何を調べられましたか？
うちはたまたま卵とうどんを食べて、検査をするに至ったのですが
卵黄、卵白、小麦、大豆、バナナ、蕎麦、エビ、牛乳、ハウスダスト、ダニを検査し（一度にはできません、二度に分けました。一度に採血できる量は限られていますのでね）、卵黄、卵白、小麦、ハウスダスト、ダニ、に反応しました。
小麦は、私が朝食にパン、昼食にラーメンなどと連続で食べると湿疹がひどくなったように思います。
チェックした項目以外にアレルゲンがあるのかもしれません。
息子の先生は「お米も一緒に検査すればよかった」と言っていました。
（数値の比較対象ができるので）
お薬飲むと綺麗になったので、驚いたぐらいです。つるつるになると嬉しい。

ジクジクしたら、それ以上触らないように、ひじにトイレットペーパーの芯を通して曲がらないようにしていました。

もう、３歳になりました。まだ卵白と小麦、ダニ、ハウスダストが数値に現れますが小麦は食べても大丈夫です。
原因が早くわかって、よくなるといいですね。