仕事がそれだけ多ければ、事業採算的には問題がないという前提です。
他にも、いろいろ遣り方はあろうかと思いますが、急場を凌ぐために
「協力企業」に、仕事の一部を外注できませんか。

協力企業／(下請け)は、管理監督を相手に委ねることができるので、
今日からでも可能です。

根本的改善は、社内に業務改善委員会を作り、全員で改革に取り組む
ことです。
注意すべきは、内務に力を入れ過ぎると、企業が硬直化し易いです。

身体あっての物種です。メリハリを付けて、ご精励されますよう。
独りで背負うことはありません。業務改善は、管理者の仕事でもあり
ます。

あのねえ、人員補充の要望を出しておきながら、無理して業務をこなしてしまうからいけないんだよ。
実際に業務が回らない、または致命的なミスでも起こらない限り、上層部は動かないよ。

皆で残業せず、さっさと帰りましょう。仕事が回らなくなって責任を取るのは管理職です。
職場を離れる社員が退職なのか休職なのかわかりませんが、労働時間０になるより、少なくとも８時間働いている人の方がましだと思わない？