関西在住です
子供の頃から京都大好きで
（お寺も街の雰囲気も大好き！！）
日帰りでは何回も、一泊旅行も数回しました！

そんな私が個人的に大好きなのは銀閣寺です。
夏に行っても、気のせいなのか周りの空気がひんやりしているような、
凛とした空間が感じられます（私には）
独身の頃は本当にふらっと１人で銀閣寺によく行ったものでした
銀閣寺周辺を散策するのも大好きでした
多分私と相性が良いのでしょうね

嵐山は・・・すみません、遠足やらで何回か行った事ありますが、
いつ行っても「私の好みではないよな～」です

後、宿泊４人で一万円・・・というのは難しいんじゃ・・・・・
京都は高いですよ
素泊まりでもそこそこすると思われます
ビジネスマンや学生向けの安価な素泊まりのホテルもあるみたいですが、
４人で一万円・・・どうだろう・・
せっかくの旅行、もう少し宿泊代にお金かけられませんか？

学生時代は京都にいました。
京都の宿は高いです…家族4人で1万円は不可能に近いですよ…雑魚寝するようなところならあるかもしれませんが…
観光地としては、私も銀閣寺はお勧めです。
あと南禅寺も行ってみて下さい、山門の大きさと琵琶湖疎水がいいですよ！

夜を楽しむのであれば、四条河原町周辺のホテルでいかがでしょうか？

京都上七軒で検索して「絽古路地」（ろころじ）の宿はどうですか？
一万円は無理だけど、京町屋一軒を一日一組でお貸しする宿屋です
7月だと盆踊りも有って、料理屋から屋台（！）に食事を安価で
お出ししてるし芸妓さんが盆踊りしてくれるんです
この宿から徒歩で「北野天神」までいけるしバス3駅（徒歩でもＯＫ）で電車で嵐山に行けます

早く予約しないとダメかもですが。。

お寺の宿坊なら、4人で1万円で泊まれるかもしれません。
「京都　宿坊」で検索してみてください。

お子さんは、何歳ですか？

年齢によっては、ホテルで添い寝無料があるかもしれません。
その場合も、京都なら、1人1万円、大人2人2万円はかかると思いますけど。

お子さんの年齢、お住まいの国によっては、
嵐山、嵯峨野の散策より、嵐山から少し足を延ばして、
トロッコ列車や保津川の川下りの方が興味が湧くかもしれません。