率直に申し上げますと、そのまま正社員になって問題ありません。

派遣社員からそのまま正社員になる打診が派遣先からあった場合、
一刻も早く派遣会社の担当営業にその旨を伝えましょう。
流れとしては、
　トピ主さんが派遣先の社員化の打診を承諾
　　　　　　　　↓
　トピ主さんと派遣元担当との間で意思確認
　　　　　　　　↓
　派遣先と派遣元で協議
　　　　　　　　↓
　派遣会社とトピ主さんとの間で交わされた契約期間が満了となる。
　その後派遣社員としての契約は終了し、
　トピ主さんは派遣会社を外れる手続きをとる事になる。
　（社会保険とか）
　　　　　　　　↓
　正社員として受け入れてくれる会社から、
　トピ主さんに支払われる年収の何割かに相当する金額が
　派遣会社に対して支払われる。
　　　　　　　　↓
　晴れて正社員に！

ところで、派遣会社が派遣社員の正社員化を邪魔するという事はまずありえません。
その点に関しても、ご安心ください。
でも、もしそれで露骨に嫌な顔をするような担当であるならば、その人は営業失格です。
不愉快な思いをされた場合は、スタッフの為の駆け込み寺のような部署が必ずあるはずなので、そこに訴えてみてください。
あと、そんな派遣会社とは縁が切れてよかった、と前向きに考える事。

それからトピ序文でもおっしゃっておられる
「派遣会社に内緒で派遣をやめて、会社と契約社員などの直接雇用になると、問題がありますか？」の件ですが、
「派遣会社に内緒で派遣をやめ」る事はできません。
トピ主さんが派遣社員である限り、雇い主は「派遣先」ではなく「派遣元」なのです。
普通の会社と同じように、辞める時にはきちんと「辞めたい」と申し出て、派遣会社との契約を終了させなければなりません。
その際には、残念ですが、一旦派遣先の会社に勤務する事も終わらせなければなりません。

が。
その後派遣先だった会社に戻るのはトピ主さんと会社の自由です。…余談ですがね。

派遣会社に内緒で会社と直接社員契約を結ぶ事は契約違反でできません。

派遣会社は会社から一定の金額を受け取り、派遣は社員になり、今後雇い主は会社になります。

会社がトピ主さんに社員の話をもちかけたのは、毎月派遣会社に支払う手数料が高い事が原因のひとつです。

派遣社員にとってのメリットはただ給料をもらうだけではなく、会社からのベネフィット、つまり交通費、有給休暇、マタニティーリーブ、雇用保険、健康保険　生命保険　ETCの保障です。突然の解雇の恐れもなくなるでしょう。もちろん責任は重くなりますが、社員になれば意思もより尊重されるでしょう。

トピ主さんが社員になる事により派遣会社とは全く関係がなくなる筈です。そこで会社から派遣会社への手数料を考えても会社にとっては得だと判断されている故のオファーなので、トピ主さんが心配される事は一切ない筈です。雇用者は守られています。そしてこれは一般的な派遣会社の取引形態です。

私も派遣で働いたことがありますが…派遣会社によると思います。自分の登録している派遣会社が、就業先の会社での引き抜きをOKとしているかNGとしているかによるのではないでしょうか？私の場合は引き抜きNGの会社でした。

もしかしたら…引き抜きNGと釘を刺しているだけで、法的(みたいな？)部分では認められないのかも知れませんが、そこまでは分かりません。それでも、NGと言っている派遣会社だとスムーズに手続きしてくれないと思います。まぁ、それで諦めるのはいやですけどねー。

これは別問題ですが…正社員になった場合、まず今までのお給料よりも減額になると思われますが、それは納得済みでしょうか？ボーナスがきっちりある会社ならば、トータルでは問題ないかも知れなくても、月々は少なくなると思いますよ。

なにはともあれ…やっぱり正社員って魅力ですよね♪何事もなく正社員になれるといいですね。

トピ主さんは派遣会社の正社員になるのですか？
派遣先の会社の正社員になるのですか？

文面からみると派遣社員の正社員のような気が
しますけど・・・

派遣会社があなたの正社員採用を壊す心配はまずありません。

恐らく、現在の派遣先からあなたを採用したいと要請を受け、正社員を視野に入れて・・・と話したんでしょう。

ですので、今の派遣会社を省いて派遣先と直接に契約するのはタブーです。
正社員採用されるにあたり、給与や待遇などの話し合いもあるので、最後まで担当の営業の人にお任せしましょう。

その交渉による手数料は派遣会社へと支払われますが、今の派遣先はそれを承知であなたを社員へと採用するのです。

間に動くお金をあなたが気にすることはありません。

「派遣会社」の社員になるって話だと思います。その派遣会社とあなたとの関係が変わるだけですよ。派遣関係の法律も結構面倒なんで、ごく大雑把に述べます。

紹介予定派遣は、基本は派遣先が決まり契約を結んだ段階で、社員となるまでの経過期間が明確になっているはずです。もしも、派遣先に正社員として雇用されれば、「派遣会社」に派遣契約期間の料金とは別に成功報酬が支払われます。（額は知りません。決まっては居ないでしょうね）

つまり、あなたが就職活動に歩き回らなくても、条件に合った紹介予定派遣の仕事が有れば、派遣会社が斡旋してくれるって訳ですね。今回のあなたのケースは、そうではなく単純に派遣会社の正社員にならないか？ってことですね。

どんな形態の派遣を行っているかは、名刺なりを見れば、一般、特定の派遣や有料職業紹介って形で登録番号が載ってるはずですので、それで分かります。
特定は自社の社員を派遣する場合のみ可です。

私はフリーの機械設計者で、自分で自分を派遣しています。他の方のレスをご覧いただけば、何も心配しなくて良い、という事がお分かりいただけると思います。それに、世の中には自分の会社の派遣社員を、お客様である派遣先にプレゼント（？）する派遣会社もあるくらいですから。

ただ、思わぬ落とし穴があります。

世の中、どこの会社もそうですが、身内には厳しく理不尽で、よそ者には優しく優遇するのです。

だから私はフリーになったのです。

トピ主さんは派遣先から正社員として迎えられるくらいですから、協調性があって優秀な方なのでしょう。
だからこそ、そんな立派な方は苦渋を味わってほしくないのです。