私は独身の頃に九州一人旅で全県を回りました。15日間です。
北九州空港着でレンタカーで上から左回りに移動。
途中、長崎で一度乗り捨て、鹿児島まで飛行機。鹿児島からまたレンタカー。薩摩半島から大隈半島に渡り宮崎から北上。最後は大分空港から帰路。
その後数年して婚約者だった今の夫と九州旅行を2泊3日で計画。
前に私が行ったときに「もう一度！！」と思ったルートを辿りました。
福岡空港着。レンタカーで観光しながら熊本県の霧島温泉へ行き宿泊。翌日えびの高原や霧島を観光しながら鹿児島へ。鹿児島県の指宿宿泊。知覧、開聞岳、池田湖、桜島、指宿名物の砂蒸しなど体験。鹿児島空港から帰路。

主さんの場合、1日目福岡泊、2日目熊本泊、3日目は福岡から帰路とのことなので上記のような大きな移動はムリかと思います。

九州のように大きなところを見て回るには行きと帰りが違う空港を使うのはとても有効です。

しかし空港とホテルが決まってるのであれば
1日目は昼着とのことなのでその日は福岡から博多へ行きお昼ご飯。博多から鹿児島本線で熊本へ。その途中下車駅で行きたいところを選ぶ。
続きます。

鹿児島本線では、快速で荒木または荒尾まで行き、荒木から普通に乗り換えるか荒尾で快速くまもとライナーに乗り換え熊本までは2時間くらい。
博多を14時ころに出て熊本に16時頃に付きます。
ホテルのチェックイン時間を見ても1箇所くらいは回れるかなと。
翌日はぜひ熊本から出る「ＳＬ人吉」で汽車の旅を。1日1往復だけですのでご注意。朝9時44分にでて人吉に12時13分。帰路は14時38分で熊本に17時14分につきます。17時53分の新幹線さくらに乗れれば博多に18時33分。博多ですので福岡泊に間に合いますよね。宿泊先に夕飯付きでないのなら博多で美味しいものを食べて中州まで行くのもいいですね。

他にもいろいろ見所はあるとは思いますが
とりあえずこのようなプランはいかがでしょう？

一応時刻表を見ながらレスしましたが詳細はもう一度確認してくださいね。