だったら、本人に直接聞けばいいと思いますが…。連絡先も知らないのでしょうか？
そもそも、友人の勤務先を把握したい理由は何ですか？

氏名をwebで検索する（科も入れれば精度が上がります）

共通の知人に連絡先を聞く

その地域に当該科を有する病院をリストアップし、片っ端から電話をかける。
（ただし、マンション勧誘業者と間違われて即切られる可能性大です）

以前の勤務先に聞く（これもすんなりとは教えてくれません）


検索は過去のものもヒットしてしまうかもしれません。
友人なら、共通の知人に連絡先を聞くのがいいと思いますよ。

見つけられればいいですね。

　診療科とフルネームで検索して、うまくいけば勤務先病院のホームページ（診療科案内など）に掲載されているのを発見できることがあります。

　でも、基本的には無理だと思います。普通の会社員で、業界や会社名がわかっても勤務先がわからない場合と同様です。