答えでなくてごめんなさい。
私も具合が悪いのに熱が出ません。
なのでトピ主さまと同じように仕事を休めません。
小さいころから学校を休む基準は「熱」だったからでしょうか。
自分の子供も熱があるかどうかで学校を休むかどうか決めています。

でも熱がなくても具合が悪いときってありますよね。
先日がそうだったんです。

とても忙しい12月とお正月が終わって気が抜けたのか、8日頃から頭痛が始まって。でも熱はない。
9日の夜にようやく37,2℃くらいの微熱。
張り切って市販の風邪薬を飲んだらすぐに熱は下がったものの血圧も一緒に下がってだるくてしょうがない。
でも熱が下がったから次の日は仕事。
だるくて具合悪い調子悪い状態が一週間くらい続きました。
熱がしっかり出たらすっきり治るような気がしています。

普段の体質を改善したほうがいいのでしょうかね？

発熱しないのは結構なことです。体力の消耗がないので、日常生活を普通にしていてかまいません。
ただし、症状がある間は感染源に成り得ます。咳くしゃみ、鼻水がある間は、マスクを着用して、
飛沫感染を起こさないよう注意してください。

ひょっとして今まさに風邪ひき真っ最中ですかトピ主さん？
それでは判断力が低下していても無理はありませんね。
お薬飲んでご主人にお子さんを見てもらって早めに就寝してください。

熱が出ない体質をどうのこうの言っていても仕方ないでしょう。
風邪をひきやすいと自覚しているのなら、風邪をひかないようひたすら予防に努めるのが一番です。

風邪が流行するこの時期、普段から外出の際マスクをしていますか？
風邪をひいていなくてもトピ主さんはするべきです。
外出の前後、ちゃんと正しい手順でうがい手洗いを行っていますか？
ノロウィルスも怖い時期ですから、正しいやり方をしっかり勉強しましょう。お子さんもまだ小さいのでしょうから尚更注意を要します。
お風呂は就寝直前ですか？お子さんを入れるついでにささっとすませてその後色々家事だなんだと起きてませんか？
普段から保温はしてますか？28歳はアラサ―です。10代の頃と同じ感覚で薄着してたり冷たいものばかり飲んでたりしませんか？

多分いくらでも改善できるところはあるはずです。一からご自分のライフスタイルを見直しましょう。

子供のころからかぜをひくと扁桃腺がはれるだけで熱は出ませんでした。でも頭痛はひどいし、のどの痛みも半端じゃなかったのに、熱が出ない、というだけで病人扱いしてもらえずつらかったです。大人になった今でも体質は変わってないので、語弊があるかも知れませんが、熱が出て、明らかに病人！という状態になれる人たちがうらやましいです。

理由はわからないし、熱の出る体質になる方法も知らないのでアドバイスにはなりませんが心中お察しします。

高熱を出さなくてもウィルスと戦える体なんだと思っています。

たまーに寝込むこともあります。
布団でうんうん唸って「もう死んじゃう」と思いながら熱を計ってもせいぜい37度後半～38度（笑）
それもほんの数時間です（笑）

ちなみに咳は長くしつこく続くタイプで、仕事中は鎮咳薬が欠かせません。

そもそも風邪じゃないのでは？だって熱がでないんでしょ？風邪というのは何科の医師の診断ですか？ あと熱があれば休めるわけでもないですよ。仕事の内容や周りの理解にもよります。

昔、咳が激しく出るけど熱がなく、風邪ならそのうちなおるだろうと2週間放置していたら実は気管支炎で悪化したことがありました。
仕事柄大声を……ということですし、のどの炎症が癖？になってるのかもしれないですね。

あまりにひどいときは、熱がなくても休んだほうがいいですよ。
他の人に心配や迷惑をかけますし、体は傷ついていると思います。

同じく発熱しませんから会社には病欠したことがありません。具合は悪いのに鼻水頭痛あるのに発熱しません。仕事しているからなのでしょうか？免疫力があるから、などと言われます。発熱しないと白血球はあまり増えないんですよね。

１、排熱に至るほどの体調不良ではないから熱が出ない。
それでも一日ゆっくり眠り、症状にあわせた食事をとればスッキリ治る場合が多いかと。

２、日頃の不摂生により、上手に排熱できず、悪い物が体内に溜まりやすい体になっているから熱が出ない。
過分な油や肉、甘いものを控え、代謝をよくするよう心掛けてみる。
パッと熱が出て、サッと治るようになるかも。

私も熱が出にくく、ダラダラと風邪が長引いてツラい質だったので、上記のことを気をつけています。

私も風邪引いても熱が出ないほうです。微熱程度。風邪の諸症状はしっかり出るのに。
熱が出る人のほうが治りが早いんですよね。私の場合、基礎体力が低く抵抗力が弱いようです。気をつけていても風邪を引いたり貰ったりします。そして、熱を出して風邪の菌を退治する力が足りない。

熱が出なくても体は辛いし、咳が酷く出る時は回りに迷惑なので、仕事は休みをもらうようにしています。
トピ主さんは声を出すお仕事とのこと。声が出ずに咳が出るのなら、熱は出なくても、咳だけでも休む理由になると思う。
周りの人も、側で咳をされていたら気になるのではないでしょうか？私なら、「熱が無くても咳が出るなら休んで欲しい！」って思ってしまいます。なにせ私も風邪を貰いやすいので。
遠慮せず休みの申請をするべきだと思いますよ。