ネットワークカードが何者かおわかりですか？
これがわからないなら正直に「私にはわかりませんしできません。ごめんなさい」と謝ってしまいましょう。

パソコンの種類（ノートなのかデスクトップなのか），ネットワークカードのインタフェースの種類（ＰＣＭＣＩＡなのかＰＣＩなのかＩＳＡなのか），新旧それぞれのＯＳは何か，デバイスドライバはあるのか・・・このくらいは把握できないと「可」「否」の断定もできません。

ノートでＰＣＭＣＩＡなら古いパソコンの電源を切りカードを外して新しいパソコンにセットするだけなんですが・・・型によってはバスや電圧の問題が起きたり、ドライバを捜してこなければならなかったりします。

デスクトップなら・・・手順的には同じですが筐体を開ける必要もありこんな質問をする人には無理です。

あなたの質問の様子だと文章で説明しても理解できないでしょう。
　諦めてそれなりの本を買うか、近くの詳しい人に聞いてみてください。
　
　そもそも、インターネットで検索しましたか？
　ネットワークカードがそもそもメインボードに組み込まれて取り外せないものもあるはずです。
　トピ主さんは困ってトピを立てたのでしょうが、レスする人も困るトピです。

旧型のPCからネットワークカードを抜いて、旧型のPCにつながっていたように、新しいPCに付ける、ということではないのですか？

まさか、ネットワークカードが何か判らない、というのではないですよね？

いつでもさんのスキル・レベルが分からないのですが、
質問内容から見て、たぶんあまり詳しくないかな？と
勝手に推測させていただきました。
また、使用されているOSが分からないので、Windows2000 またはXPを前提にしますね。

以下の点を作業なさればよいかと思います。

1) 旧PCが起動中であれば、「ハードウェアの取り外し」
　から、該当のカードを選んで「停止」。
2) 旧PCからネットワークカードを引き抜く。
　デスクトップ型の場合、筐体を開けなければなりません。
3) 新PCに挿す。
4) 新PCにネットワークカードの認識をさせる。
　ドライバー等はありますか？
5) TCP/IPの設定を行なう。

以上です。