絶対に切らなくてはいけませんか？
お庭がもし広いのなら、別の場所に移し替えるのはどうでしょう？
庭木とかを扱っている園芸業者に依頼して、一回り小さく伐採してもらって、別の場所に移動させてはどうでしょうか？
今はちょうど冬で、庭木の移植に向いている季節です。
私の実家では庭を作り直し、庭木を抜いては移し替え、をしました。
大きな松の木とかも、根切りをされて、小さなむしろに包まれて植えかえられましたが、どうやら生きているようですよ。

猫の額ほどの庭ですが、老父と有職の私では手に負えず、ここ数年シルバー人材センターに手入れをお願いしています。連絡すれば見積りに来て、こちらの要望も聞いてもらい、費用もそのときどきですが、それほど高くありません。かつては専門の職人だった方々なので、庭木の剪定や雑草抜き、移植などほとんどお任せで、キレイにしてもらっています。

何でも屋でも安くやってくれますよ。

大家業をしておりまして、庭の木を始末してもらったり、庭の手入れをお願いしています。

当初、庭の手入れは、園芸店やシルバー人材センターをあたっていました。
園芸店は確かに安心なのですが金銭的に高額で、シルバー人材センターでは派遣されてくる人によりけりでした。
シルバー人材センターでは、特に木を始末するにはお一人とはいかず、トラックなどの手配も入ってくるので、普通の庭の手入れほどお得さを感じませんでした。

もしも何でも屋が近所にあるようでしたら、見積もりをとってみるといいです。

ちなみに、木の始末に、お祓いはしたことはないので、わかりかねます。。。

伐採した後の枝葉の処分もありますから、タウンページなどで近くの園芸業者さん・造園業者さんに依頼（見積もり）をされてはいかがでしょうか。
私の先輩が家業の植木屋さんを継いでいますが、行政から受けた街路樹の剪定もやるし、個人宅の伐採や選定もやっています。
希望の日時がぴったり合うかは問い合わせ次第ですが、余裕を持って打ち合わせをすれば都合を聞いてくれるのではないでしょうか。

我が家の建替えのためにどうしても伐採しなければならなかった大きなケヤキ（２階の屋根より高かった）を切ってもらう時は、作業前にお清めをしてもらいました。
私の感覚では神官さんに来ていただいてお祓いをするのは大袈裟すぎる気がしたので、用意しておいたお塩とお酒を植木屋さんにお渡しして根元にぐるっと回す感じでお清めしていただきました。
申し込む際に「作業の前にお清めして欲しい」旨を伝えておいた方がよろしいでしょう。
今風のガーデニング業者さんだとどうかわかりませんが、和風な植木屋さんなら要領を心得ている方は多いのではないでしょうか。

在米です。

裏地の木、約２８０本を業者に伐採して貰ったのですが、その前にお酒（日本酒）を数本買い、
お猪口で木々に振りかけながら、”御免ね、御免ね、明日貴方達を切ってしまう事になった、
今迄有難う、でも本当に御免ね”と小声で言いながら自分ひとりでお祓いの儀式をしました。
大声で言えなかったのは、土地は広くても声は結構木霊してどこかの家の人達に聞かれる
のではないかと躊躇したからでした。
本当は大声で木々に感謝をしたかったのですが。
大木には本当に涙が出ました。

私個人の意見ですが、お祓いは個人でも（プロを頼まなくても）した方が良いと思います。
要は貴方の気持ちなのです。小声でも“あなたは大好きで今からもずうっと一緒にいたいと思っていたけれど、
あなたが育ち過ぎて家が圧迫されているの、御免なさいね、私は泣きたい、仕方なくあなたを切って
しまう事になってしまったのよ、お願いだから恨まないでね”とか何とか呟きながら。
木は一本ならばお酒（日本酒）一本で良いと思います。

私、日本ではないのにどうしてこれだけ気を配ったかというと、ー続きます。