そんな風に聞いたことがあります。
梅雨明け前は袷で、梅雨明け後は単だとか。

私も初心者ですので、詳しいことは分かりませんが、袷は暑いことは確かです。

まずは披露宴がどこで行われるのかで気候が違うのと
参列者のキャラ、着付けをどこでされるかで
大丈夫かそうでないかが変わってくると思います。

以前は6月は単、とうるさく言いましたが
一般の人は持っていないのが当たり前なので
最近はそれほどでもないかと思います。

ただし、お茶など和物の先生がいらっしゃると
見る目が厳しいので、ルールをきちんと守った方がいいです。
私もそうですが、どうしても厳しい目で見てしまいます。
友人とのことなので、恐らく新婦さんの御友人だと推察しますが
「教養のないお友達をお持ちで…。」と
新婦さんまでそういう目で見られる可能性がありますよ。

あとは披露宴はどこで行われるのでしょうか？
6月でも北海道や東北など涼しいエリアでしたら大丈夫かと思いますが
東京周辺、名古屋、関西より南西エリアですと
湿気と気温で着物が汗みずくになるのが心配です。
その際は、式場は男性のスーツに合わせて冷房ガンガンだと思いますので
できるだけ式場で着付けをしてもらった方がいいですよ。

約１０年前、親友の結婚式（ホテル）に袷の訪問着で出席しました。

私も母もいいものかと悩みましたが、丁度着付けを習っており先生にお聞きしたところ「袷で良いのよ」というお答えでした。

・現在は昔ほど衣替えに厳密ではないこと
・室内であれば温度調節は問題ない
・やはり、袷の方が重みがある

そこで、トピ主様もお考えの様に、色やコーディネイトに清涼感といいますか、初夏らしさを出せばよいのではないでしょうか。

ちなみに、私はワンピースで着物一式を持ってゲスト用の更衣室で着替えました。着付けをお願いするのであれば会場で出来ればその方が良いかと思います。または、車で送ってもらえるならば、お召しになって行かれても。

それから・・・お母さま方は留袖ですか？そうであれば袷の方がほとんどではないかと思います。その場合ゲストが袷の方がむしろ良いのでは・・・

　結婚式に際しては、たとえ真夏でも新婦は夏物を着用しませんし、袷の留袖を着用されるご両親のほうが多いくらいではないですか。写真映りも薄物や単より袷の方が良いのです。
　それらを考えると6月中旬のお式で袷を着用されても特に問題はないと思います。公共交通機関をお使いになるわけではないですよね。以前、6月の電車で黒地の振袖を着たお嬢さんを見かけましたが、あれは見るからに暑苦しかったです。

今どきは、単や薄物は『持っているなら着る』ですね。

トピ文にある、襲ね衿なし寒色めのコーデならばっちしです！
さらに長襦袢は、お持ちで袖丈が合うなら喪服セットの中の夏用長襦袢を着れば多少は暑さが違います。

そして初夏なら他の方のレス分にもあるよう、会場で着付けをお薦めします。
もし着付け師さんを頼むなら、補正用のタオルは多めに用意しましょう。
足りないと脱脂綿を貼り付けるのですが、綿はとっても暑いです（笑）タオルもフカフカの新品は暑いです。くたびれたヨレヨレのほうが身体によくなじみ汗をとってくれるし、着あがりがキレイなんですよ。

　是非お薦めしたいのがあしべ織りの肌襦袢です。
灯心織りと言って中に灯心が入っているそうです。
なのでちょっと厚手ですが、汗の吸いはもの凄くいいです。
私は相当な汗っかきなんですが、これを着るようになってからは長着に汗が響かなくなりました。
唯一の欠点が洗うともの凄く縮むことなので、大きめのサイズをお求めください。

夏用長襦袢は、ポリ絽なら吊しのものが安価で買えます。裄（肩幅＆袖幅で測る）と袖丈が合えばオッケー、２部式タイプもあります。
麻紋紗や海島綿絽や正絹絽に比べれば暑いですが、正絹袷用襦袢よりは涼しいし、何より汗をかいても家庭の洗濯機で洗えます。正絹の袷用の長襦袢を６月に袷の下に着るとイッパツで汗抜きクリーニング（高い）必須になります。

ちなみに私は暑い時期に着物を着るときは、肌襦袢の代わりに綿100のタンクトップ（背中がしっかり空いていること）に汗脇パッド装着、腰巻省略（一枚でも減らす）で薄物の透け対策は長襦袢に綿ローン地の大きい居敷当て＆Ｔバックです。
足袋も、よく見ると裏地がネル起毛生地が貼ってあるものと、シーチングみたいな平織り綿のものがあります（こっちが涼しい）。

あと、風のよく起こる扇子をバッグに（笑）

細かいところで暑い涼しいが全く違います。

　専門家ではなので、私の知る範囲でお答えすると、小物類を夏物にする必要はありません、というか袷に夏物の衿や帯揚げはありえないと思います。暑苦しくないように、涼し気な色味にするとか、真冬に使うものは避けるというレベルで良いのです。
　表はあくまでも袷のコーディネートにして、見えない内側を夏物にして涼しく着ましょうということです。夏物の襦袢をお持ちではないということですが、うそつきと呼ばれる二部式の襦袢でしたら簡単に手に入ります。胴が綿、袖がポリなら汗をかいても簡単に洗うことができますし。正式なものではありませんが、色々なタイプがあるので一度選択肢に入れてみてください。

＞シャンパンゴールドの地に松竹梅と菱の柄
おお、ステキ！
オールシーズン、オールマイティなお着物ですね。

夏対策ですが、お持ちの長襦袢は袷ですか？
袖無双（袖だけ袷で身頃が単衣）ですか？
このお着物なら今後も大活躍すると思いますので、お持ちでないなら袖無双の長襦袢を用意なさるといいですよ。
今回はそこまで余裕がないようでしたら、肌着を夏仕様にしましょう。
肌襦袢と裾よけがワンピース型になった薄手の夏下着。
あるいは、裾よけがわりに、ちぢみのステテコか薄手のペチコートにする。
それだけで、かなり違います。
あと、意外に暑いのが帯板とか伊達締め。
これも夏仕様のものがあります。
それほど高額ではないし、効果がありますので、お薦めです。

あと、六月ですと雨が心配ですね。
雨コートはお持ちですか？
義母さまにお借りできないかしら。ご相談なさってください。

いい日になりますよう。