同等の立場なんですが、あまりに酷い仕事ぶりに、「社会人としてちゃんとしてください」とまで言いました。

報告・連絡・相談ができない。自分がやった作業の確認をしない→だからミスが大量発生。期限がある仕事を手が空いていてもやろうとしない。

最初は気付かせるように柔らかく優しく提案するように「こうしたらどうかな？」とかアドバイスしてたのですが、それがどうも通じてないと言う事がわかってからは「前も言いましたよね？」ってキツくなっていきました。
注意する側になって初めて、かつて怒らせてしまった先輩の気持ちが良くわかりましたよ。

私もモヤモヤはしてますが、業務上仕方なかったと割り切ってます。
今はわかってくれてるんですよね？それで良しとしてはいかがでしょうか。

＞そんな事をしていたらクビになりますよ
そういう指導は下策です。クビをちらつかせて自分の思い通りに動かそうとしているだけです。注意をするのはいいのですが、リーダーとして自分の言葉で説得するべきです。

注意されるような事ということは、会社や組織としてはそれをされたら困る、問題が起こるようなことだということです。
一方、みんなが平気でやるということは、本題の本質が分かっていないのか、楽を選んでいるということです。

立場によってメリット・デメリットは異なりますので、各々の立場を理解した上で問題解決に当たらなければなりません。サブでもリーダーならば、何が問題なのかをしっかり説明して分からせることと、再発しないように対策を取ることが必要になります。

リーダーって肩書きだけでは人は動いてくれません。人を動かすには相応の信頼を得るとともにリーダーシップを発揮させる必要があります。
悩むのはいいことです。これでいいのかと悩みながらリーダーとして成長していくもんです。
まだリーダーになりたてですから猶予はあります。これから成長するように頑張りましょう。

お疲れ様です。
年上の方に何かしら注意をするのは、大変だと思います。
今の立場の上下関係と、社会人としての経験は別ですから、気をつけて話しても伝わらないこともありますしね。

トピ文では、詳細がわからないのですが、業務上のことですか？
トピ主様は、サブリーダーで、別にリーダーの方がいらっしゃるんですよね？
その時、その方は何をされているの？
トピ主様の立場で、言わないといけないことなのでしょうか？

どちらにしても、
「クビになりますよ」は、脅しに使う言葉であって、注意ではありません。
トピ主様には、おそらく人事権（採用や解雇の権限）はないですよね？
何ら権限もない立場の人から、そういう言われ方をすれば、場合によっては反感を持たれかねません。
言わない方が良かったかと気にされるのも、トピ主が気遣いのできる方だからだと思います。それで、反発されたりするのは、もったいないと思います。
具体的に気をつけることを伝えた方が効率も良いですしね。

それとも、
「説明、教える側…」とあるので、本当は他の言い方をされたのかな？

教える側からすれば「何かあれば自分が責任がある」と思うとついキツイ言い方になります。甘く指導していたら上司から叱られますし、指導したにも関わらず直してくれない部下に対してはそれなりの処分はされます。事前に厳しく注意することで被害が大きくならないようにしています。
先週年上の先輩を指導しました。年齢も相当上なので当然知っているだろうと思われることが知らない・わからないのでビックリしました。何故こうなるか理由を説明し、上司が何故キツク言ったのか説明しました。納得したようですが、来週から自分の指導を聞いてくれるか不安です。
でも他人の事ですし、しっかりと教えたのでそれ以上は言いません。労災や辛い思いするのは本人です。他人の忠告を聞かないで嫌な思いをしたくないなら聞いた方が良いです。立場上言いたくなくても言わないといけない事もあります。相手の立場を考えれば自然と理解されると思います。

基本的に、雇用主さんが決めた
就業規則で、決まっていることはあり（服装とか、禁煙とか）、
それを守らなければ・・・、ということはありますが、
それ以外は、注意しないといけないことかどうか、
判断が付かないことも、結構ありますね。

その場合、自分に実害があったり、
多くの方が迷惑を被ってる感じがするかどうか、
会社の業務や運営に影響しているかどうか、が、
決め手ではないかな、と思いますが、
そうでなければ、指摘しなくても良いようなことも
あるのではないか、と思います。

あなたの注意したことは、どのようなことだったのでしょうか。

トピ主さんが年下では、注意はそれはしづらいでしょう。
これが、例えばトピ主さんが５０代で他の人達が６０そこそこくらいという、もうお互いの人生経験にさほど差がない年齢ならいいですけれど、トピ主さんが２０代か３０歳そこそこくらいだったら、なかなか難しいと思います。
年上の人達相手にどういう言葉を選んだらいいか分からなくなってしまっただけだと思います。だから、今回言った事は気に病まずに。
書店で管理職の心得のような本が売られてないでしょうか。サブリーダーは管理職ではないとしても、何かヒントを得られるのではないかと。

キツイ事ばかり言うのは逆効果ですよ。
７割褒めて、３割けなす位でいいと思います。
パートさんも良い所があると思いますので、そこはちゃんと褒めて上げて、悪い所はしっかり言っていいと思います。
悪い所が多くても、褒めてあげる方がやる気が出ます。
例えば少しうまく行っただけでも大げさに「そうそう！上手じゃない！」「うまい！流石！」みたいな感じです。
言ってる方は恥ずかしい、なんて思わなくていいですよ。
パートさんも自分があまり出来ないことはわかってると思いますので、褒められると意外性があって効果がありそうです。

普段褒めて人間関係を作っていれば、叱っても聞いてくれますから。
教える時は、相手が「会社に来るのが楽しい」「頑張ろう」って思うように洗脳？すれば出来ない部下でもやる気を出しますよ。
やる気が出れば努力もする、仕事もできるようになります。

言い過ぎた時でも仕事の終わりは明るく終われるようにして下さいね。
次の日は引っ張らないように、でもあまり謝ったりしないでいいと思います。立場が逆転してはいけないですし。。

＞リーダーも一緒にやっていたらしく

咄嗟についた嘘かもしれないですよ。
今のリーダーじゃなくて、前のリーダーがやっていたとか。

＞…結局、
＞なぜ？サブの貴方から言われなくてはならないのか？
＞と言われる羽目に…

実際、そういう事なんですよ。
間違った作業をしている人がいたら、何故、そうしたのかヒアリングしてリーダーと相談するという手順を飛ばしたからです。

何でもかんでもリーダーと相談かと言えば、臨機応変に対応しなければなりませんが、下手にトピ主さんが動くと、リーダーの立場や、トピ主さんとリーダーとの関係も悪くしてしまいます。

＞しかも、一度の説明では
＞わかってもらえず…

それは、何故、そうしたのか、理由をトピ主さんが理解しようとしなかったからです。
相手が「あら、そうなの」と思える言葉を探せないまま、同じ事を何度も繰り返したって、相手は「しつこい！」としか思わないのです。間違った事を言っていなくても。

役職が付いたら人が付いてくる訳では有りません。
大変ですが、一つ一つ勉強です。頑張って！