やらない人はどういってもやらないと思うので、諦めたほうが早いと思います。

主さんの平日の時間割はどんな感じですか？
もし余裕があるなら、普通とは逆に「休日、何もしないために平日少し頑張る」を実践するのも手です。

私は子どもができる前まではそうしていました。

月曜と水曜はアイロンかけに20分、火曜は水回りの掃除に20分、木曜は少し遠まわりして安いスーパーで買い物していつもより20分遅く帰宅、金曜日は木曜日の買い物してきたもので週末用の仕込み。
そうすれば週末は大物の洗濯とかくらいで済むのでは？
家事って一つ一つはさして時間かかりません。大人の二人暮らしならなおさら。
プラス20分の家事で、ほとんどの家事が片付いていくと思いますよ。

ダメもとの気持ちでお願いするんです。必ず理由もつけて。

私には届かないから○○とってくれない？
今からご飯作るからその間に洗濯物を乾燥機から出しといてくれない？置いとくとシワになっちゃうから。

断られてもいいんです。
嫌だ、手が離せないって言われたら「そう、いいわ、後でやっておきます」とサラッと。

何度も行ってるうちに気が向く時が来ます。
不満は言ってはダメ。降り出しに戻ります。
たいていの人は誰かに期待されること、頼られること、あてにされることが好きです。
何度も断って期待に沿えないことが情けなくなります。
だから、諦めないでお願いする。
で、やってくれたら感謝。
あなたのおかげで○○だったわと成果を伝える。

最初は簡単なことでいいんです。手伝って褒められる感謝される成功体験を与え、これを繰り返すと自分からいろいろやってくれるようになります。
ポイントは、無理強いはしない。やってくれなくても文句はいわない。

フルタイム共働き、お疲れさまです。
この先の長い結婚生活で見れば経済的に夫が多くを負担します。
目先の損得感だけで下手な平等論は持ち出さないことです。
損して徳取れの意識を忘れないこと。

そのうえで、現況に対するアドバイスです。
家事をやらない男性との共同生活を上手くこなすコツは以下２つ。
・担当エリアで（手伝いではなく）分担する
・相手エリアの状況に対し文句は言わない、手を出さない

分担きめのコツは「お互いこだわりのある順」です。
洗濯が夫の分担なら何週間溜めても放置。
自分が困ったら自分のぶんだけやる。

洗物が夫分担なら溜めても放置。
皿やコップが無くなったら洗ってない皿やコップを使わせる。

女性の多くが勘違いするのですが「男は手伝いは嫌い」です。
でも「任されると責任感を発揮」するのです。
任せる＝相手を信頼して一切何も言わないことです。
小言より、褒める～褒め殺しのほうが効果的。
男を上手に動かすにはこの心理を理解することです。

洗濯物も自分のだけして、食事の用意も。

アイロンなんてしてあげる必要ないでしょ？
やってあげるから母親役を押し付けられたのでしょう。

しなきゃ自分でするしかないんだから甘えさせないこと。
文句言われる筋合いもないし。
共働きなら当たり前です。

１.手伝いではなく、担当制に変える。担当した家事のやり方は担当者本人にお任せ。ただし、職務放棄する可能性アリ。

２.家事のやり方を変える。
・洗濯→乾燥機付洗濯機を買う。アイロンが必要なものはクリーニング屋へ。
・水回りの掃除→月１か２、業者に来てもらう。
・食洗機を買う
・週末は基本外食
子供がいなくて、夫婦共働きなのですから、手を抜くところは抜いていいと思います。
面倒なことを言わず、楽できる方向に変えるのが得策ですよ。

共働きなんだから分担すればいいのに。
夫がやらないならトピ主さんもやらない。
もしくは自分の分だけやる。

できないなりにもやったなら
文句は言わずに「ありがとう」と言う。

家計に入れる金額の割合を、主様が納得出来るくらいにまで、ご主人の持ち分を増やすとかは？
または、食後の食器洗いはご主人、洗濯物を畳むのはご主人というふうに具体的に決めるとか？
または、数カ月に一度旅行に連れて行ってもらえるよう約束するとか？
旅行に行けば完全に家事からは解放されますからね、お互いに。

最初が肝心。主様が黙ってやってると、「なんだ、やれるじゃん、やってくれるじゃん」と甘えてしまいます。
自分が動かずとも家庭が回ってると思ったら男は自分からは動きませんって。

手伝ってもらう、というより、分担するのがいいと思います。
食器洗いでも、洗濯物をたたんでしまうでも、掃除機をかけるでも、なんでもいいので、「これはだんなさん担当」と決める。

…しかし、頼んでもやってくれないと思いますので、まず、「家事をしないと生活に支障をきたす」ということをわかってもらうのがいいと思います。
だんなさんは、スーツで出勤されますか？
だとしたら、ワイシャツにアイロンをかけない。
着ていくシャツがなくなれば、自分でやるしかないですよね。
もしくは自分でお金を払ってクリーニングに出すしかない。
自分の食器だけ洗うとか、自分の洗濯物だけ洗うなどはさすがにかわいそうかなと思いますが、「だんなさんだけが使うもの」に関しては、家事を放棄してみるのも一計では。
アイロンくらい、練習すれば男の人でもかけられますよ。
だんなさん、わかってくれるといいですね。

フルタイム共働きということは家計も負担しているんですよね。
家計の負担割合はどうなっていますか？

専業主婦であれば家事はすべて主婦の仕事ですが、
それは家庭を運営するにあたって必要な家計と家事の割合が
家計は夫：妻が10：0なので、家事は0：10になるんです。
一方妻も家計を負担している場合、当然夫も家事を負担する義務が生じます。なのにトピ主さんは「手伝ってほしい」という。
手伝いは義務ではなく好意ですよね。
トピ主さんが自分の収入はすべてお小遣いですか？そうであれば「手伝ってほしい」という言い方もわかりますが。
家計を負担しているのであれば「自分の分担分をきちんとこなしてほしい」というのが正しい表現です。
そんな風に下手にでるから夫もつけ上がるんですよ。
どうしても夫がやらないなら費用を請求すればいいんです。
夫の収入だけでは生活が成り立たないのであれば夫が分担分の家事は放棄しましょう。本人が困らないと理解しませんよ。
病気や失業などの不測の事態があれば臨機応変に対応することも必要ですが、トピ主さんは新婚なんですからまずは夫に家事も自分の仕事と認識させるほうが大切ですよ。

結婚20年、子どものいない40代夫婦です。
「手伝って」ではなくて、「一緒にやろう」と言っています。

結婚式の続で旅行に行って、自宅に戻ったその夜、
「私の腕の長さで、シーツのあっちとこっちが持てるわけないでしょ。いっしょにやってよ、そっち持って引っ張ってよ」
と、かわいくおねだり（当時は私もまだ若かったので）したところ、喜んでやってくれました。
それ以来、いっしょにやってよ、いっしょにやろうよ、で色々と頼んでしまっています。

狭い場所にふたりいても邪魔っけだし、それぞれに自分のやり方がありますので、ひとりでやった方が結局は早く終わるのかもしれません。
でも、同じことを２人でやるのも、それはそれで楽しいんですよ。
お風呂場と洗面台の掃除をふたりで同時にするとか、台所の洗い物とコンロ掃除を手分けするとかで、同じ場所にいればおしゃべりしながらだってできますし。
一緒に終われれば、その後いっしょにテレビを見たりもできますよね。