元ネタ知ってますか？
それ行けアンパンマンっていう子供アニメの悪役、バイキンマンが立ち去りぎわに言い残す言葉なんです。
バイキンマン、すなわちバイキンのキャラクターです。その彼が「バイバイキーン！」と言う。……つまり、バイキンの自分がバイバイしてるから、「バイバイキーン」。てことは、あなたにバイキンと言ってるわけじゃなく、言ってる本人が自分自身を「バイキンはバイバイしまーす」とオトしているようなものです。
そう思うと、ちょっとは不快感が薄れませんかね？
バイキンマンて、子供アニメにありがちな悪役なんですけど、大人の目で見てるとアホで可愛いんですよね（話によっては主役の正義の味方よりも好感がもてることも…）。
その愛嬌のあるキャラクターを気に入って、「バイバイキーン」というセリフを自分でも使うお母さんがいるのでしょう。

「バイバイキーン」という言葉の響きがおいやなのですね？
私自身は使いませんが、これは子供が大好きなアンパンマンに出てくるバイキンマンが使う言葉なので、それほど深く考えないで、子供たちは使うことがあるようです。
といっても日常的ではありませんが・・・。

トピ立てるほどのものかは疑問ですが、あなたがおいやなのは良くわかりました。

「ばいばいきーん」ってアンパンマンに出てくるバイキンマンが去るときの挨拶（？）だったはず。
「じゃあね」と同じ意味で使っているんじゃないのかな？

ちなみにバイバイキーンはアンパンマンに出てくるバンキンマンがアンパンマン達にやられて去る時に言う言葉です。しかし子供いる大人がそんなこと言うのはおかしいと思います。子供いない大人でも十分おかしいですが。

トピ主さんの言う『意味』とは、
「アンパンマン」に出てくる“バイキンマン”が
言うセリフだということですよね？
「アンパンマン」に出てくるキャラクターは
それぞれのキャラ特有の言葉などがあるので、
それを知ってる私は、何とも思いませんが･･･

知らなかったら「なんだろう？」と思うかもですね。

子供と一緒にテレビを見るから
子持ち世代の人も使うかもしれませんが、
主に子供が使うのではないでしょうか。

あなたはとても心の狭い人ですね。

もしかしてバイキンマンしらないとか？
まあ、年配のかたなら仕方ないか。

「バイバイキーン。」と言っているのは
勝負に負けて退散するバイキンマンの挨拶。
番組上でそれを見送るのは正義の味方アンパンマン。

多分、謙譲語＋ギャグのつもりだと思います。
自分をバイキンマンに見立てちょっとへりくだりの意味も込めつつ、笑いも掴みたい…。
発想としてはけなげですが、
完全に滑ってしまっているようですね。

もし、余裕ができたら「ハ～ヒフ～ヘフ～。」と返してあげてください。
言われた方の努力は報われるはずです。

嫌かもしれませんね。人によっては。

私は10年前、幼稚園に勤めている時に教え子にその挨拶をされました。
私は最初何を言ってるのか分からず「？？」の状態でしたが、保護者の方が「バイキンマンの言葉なんですよ。」と言われ、TVを見てようやく分かりました。

特に嫌という感じはしませんでしたが、もし気になるようでしたら「"バイバイキン"はあまり好きじゃないな。"バイバイ"じゃダメ？」と聞いてみるか、"握手でバイバイバイ"に強引にでも流れを変えてみるとか。(笑)
でもそれほど会う頻度が多くなければ難しいかも、ですね。

「キラーン！」って言って、
消える（去る）けどなあ。私なら。

たいしたことではないですよ。
言ってる側も他意はない。

いや、他意を感じるとしたら、
それは、トピ主さんが、ここに書いていない、
それまでの何か積み重ねがあるわけで。