別の会場の金額を見せるのは辞めた方がいいかもです。
結婚式場で、周りの価格を気にしてどうしてもウチに決めて欲しい！というような式場でしたら他の会場の価格を見せて交渉するのもありかと思いますが、
そうでない場所ですと「うちはお値引き出来ませんので、どうぞそちらで決められて下さい」と袖にされてしまう可能性もあるかと・・・

それよりは正直に「どうしてもこちらでウエディングをしたいのですが、予算○○円くらいになりませんか？」と交渉して見る方が良いと思います。
どうしてもここでやりたい、と言われれば相手も「値引きは出来ませんがケーキを特別にお出ししますよ」とか、何らかのオプションを付けてくれたり、安くするために「○○を削れば出来ますよ」とか、何らかの方法を提示してくれるのでは無いかと思います。

結婚式場は価格交渉できるものだと何かの記事で読んだことがあります。
ただ、おめでたいことなのでケチがつきそうで嫌って人が多いようです。
レストランはどうでしょうね。

他の店の価格を見せて、値引き交渉するのは、値引きする対象が量産品だった場合に有効なのではないでしょうか？
つまりテレビとか洗濯機とか、どこで買っても品質が同じものは
あっちの方が安いぞ
って言えますけど、レストランは食材、シェフの腕、サービスの質それぞれが違って当たり前。
「あちらよりも当レストランではいい素材を使っていますので」
なんて、簡単には値下げしない理由を言えます。

あ、でもこういう交渉は交渉相手の考え方ですからね。
ディスカウントしてでもトピ主さんのパーティが欲しいかもしれないし、値切ってくる客はお断りかもしれないし、値切られたことでトピ主さんの印象が悪くなるかもしれないし、意外と印象が良くなるかもしれないし。

交渉相手もサラリーマンですから、理屈が無い割引はしにくいです。

検討中のレストランで、デパート等との提携割引や株主優待、前に披露宴をした方からの紹介式優待など有りませんか。
割引・優待券があれば、出す時期は遅かったとしても、相応の割引をしてくれる可能性は高くなります。
ネットオークションで数百円で出ていることがありますので探しましょう。

支払いでギフト券・クレジットカードが使える会場であれば、活用しましょう。
例えば、金券ショップで3%引きで200万円分のギフト券を買えば、6万円の節約になります。
あるいは、クレジットカードの限度額を引き上げてカード払いにすれば、沖縄往復くらいの航空券に替えられるマイルが付きます。カードの引き落とし日が披露宴の後なら、ご祝儀を当てられるので資金繰りも楽になります。

例えば服とか品物を買う際に値段交渉しても品物の質は変わりませんが、レストランだと値段交渉に成功したとしてもその分食材の質をワンランク下げられたりとか目に見えない部分で向こうも節約するかもしれませんね。商売ですから。

強気な値段設定も場所や料理の質に自信があるからこそのもの。そこを他の店と比べて交渉しても心象悪くするだけじゃないでしょうか。サービスが低下して満足できない結果になったら後悔してもしきれません、

そこがお気に入りのレストランなら強引な値引き交渉をせず、ドレスやその他で節約してみてはどうでしょう？　

格式あるレスランということは、伝統もプライドも職人意識もあります
結婚式場が商人なら、職人ってわけです

「うちでは無理です。お引き取り下さい」の可能性、あると思います

重複しますが、プランナーや料理のグレードを地味に下げられたりする可能性もあります

「どうしてもここでやりたいのですが、○○○万円で収まる方法はないでしょうか」ぐらいの方がいいです

それとホテルもそうですが、顧客の書き込みをやろうとしますから、例えば結婚一周年のプレゼントや招待なんかがあったりします
質の悪い（言いたくないですが）お客様には、省かれたり、最低限のことしかヤてもらえなかったりします

何のために「格式あるレストラン」を選んだのですか？
今後も末永くご縁を保とうと思うのなら、あまり無茶はなさらない方がいいですよ