スポーツジムではありませんが以前運動系の習い事をしていた時には
年間で何百円かの傷害保険料を払っていましたので使ったことがあります。
怪我の際にスタッフが病院に付き添ってくれて検査をし、診療代は私は
払いませんでした。
多分ジムで加入していると思いますよ。
通院や治療が必要でなくとも、原因はそのジムでの出来事ですから請求できます。
と言うか、きちんとしたところなら普通相手側から言ってくると思います。

もしクレーマーっぽくなってしまうのが心配でしたら、
「団体傷害保険とか会費から払われて加入していますか？」と聞くくらいなら
いいのではないでしょうか？
もし加入していないと言うのでしたら（それはそのジムはマズイと思いますが・・）
ご自身で入っている保険を利用されてはどうでしょうか？
その際に「保険会社から確認が行くかもしれません。」とちょっとチクリと
言ってもよいと思います。

もし保険に加入していないとか加入していても使わせてくれないとかでしたら
そのジムはヤバイと思いますので、よく確認した方がいいと思います。

ジムの会費には一般的にジム利用時の事故を補償する保険代が入っていると思います。
規約を確認してください。
引き受けている保険会社がわかればそちらに直接確認できます。

もし保険がはっきりしなければ「今回の受診を私の入っている傷害保険に請求しようかと思ったんですが、こちらで起こった事故なのでジムで加入している保険はありますか？」と聞いてみましょう。

いきなり「お宅が払え！！」っていうのは勇気がいりますからね。

少し整理しましょう。

保険を請求するのと、賠償金を請求することは全く違うと思いますが
賠償金という言葉は相手側から出てきたのでしょうか。
トピ主さんは単に治療費を請求したいだけですよね。

ジム側で傷害保険には加入していたのですか？

ジム側の過失を明らかにすると言うか、スタッフさんに報告したのですし
ジムのシャワーで目を強打したのは明らかなことですよね。
その状況で保険が利用出来るか出来ないかってことじゃないのですか？
今回の事故では保険が使用出来ないと言われましたか？

例えばジムでランニングマシンで走っていて急にマシンが止まって
転んだで捻挫したとします。でも誰も見ていませんでした。
スタッフに状況は報告しましたがマシンに異常は見られなかった。
こんな場合にもマシンの不具合を証明しなければ保険が請求出来ないのでしょうかね。
マシンでもシャワーヘッドでも館内で起きた事故には変わりはないし、
ケガをした人が現にいるのだから保険を利用出来るのは当然だと私は思うのですが・・。

でもこれが賠償金なら過失を証明することは必要だと思います。

続きです。

先のレスにも書きましたがご自身で傷害保険は加入されていませんか？
もし加入されていればご自身の保険を利用されたら良いと思います。
その際に今回の事故のこととジム側の対応を相談してみてはいかがでしょうか。

相手に誠意が無いと感情的になりがちですが、事務的にすすめるのが良いと思います。

お大事になさってください。