飲食店のパートから、病院勤務に転職しました。
私の場合、いついつまでに辞めたいということはなかったので当初は後任が決まり次第退職ということになり、パートを続けつつ派遣会社に登録して次の仕事を探しました。
結局後任が決まらないまま２週間経ち、意外にも早く今の仕事が決まったので、２週間目できっちり辞めましたよ。

トピ主さんのパート先はそうではないと思いますが、私のパート先は店主のセクハラや店主の奥さんの陰湿ないじめがある上に激務で、どうしてもなじめなかったので絶対に辞めようと思いましたが、辞める意思を伝えてから２週間は我慢して通いました。
（そしてストレスから胃を痛めて病院に通いました）
店主はごねましたけれど、雇用契約書も就業規則もないパートだったので、民法上２週間経てば雇用契約は終了する、納得しないなら裁判を起こすしかない、と
伝えたらそれ以上は何も言われませんでした。

いい転職先が見つかるといいですね。
頑張ってください。

次の人を募集して面接して決めるのに、やはり1ヶ月は欲しいという現場の責任者の判断なのでしょう。
長く勤めている主さんなら、戦力として頼りにされていると思いますし。

でもすぐにでも言ったほうが良いと思います。
「今新しい仕事を探している。次が決まったら1ヶ月待たずに辞めたい」
って。
ただ理由としては、「今の職場がイヤ」ではなく、家庭の事情などの理由を言ったほうが良いと思います。

その事を責任者に申告する以上、今までよりも職場での待遇がなんとなく冷たくなったり、いつまでも決まらないまま居続けるのはムリと覚悟したほうがいいです。
腹くくってがんばってください。

今のバイトをしながら、職探しをし、決まったら伝えるのはどうでしょう？
もし、1ヶ月を切ってしまったとしても、事情を話せばしぶしぶ了解してもらえることが多いです。

どうしてもすぐに辞めたい場合
即日から来なくなってしまう人なんかもまわりにはいましたが

２週間前に告知はしました

正社員でない限り会社規定を守っている人の方が少なかったりしませんか？

主さんはまだ就職先が見つかっていないようですので
まだ言う必要ないと思います。

面接先には在職中で問題なく応募できますし
急募！！という求人でない限り
１ヶ月以内に退職する予定ですと面接先には説明しておけば
欲しい人材に関しては企業は待ってくれると思います。

内定もらってから現職場に退職を申し出るという流れで何ら問題ないと思います

引き止められたり
認められなかったら、それから理由を何とでもつければよいですし
民法の２週間前告知というのがあるわけですから
企業側は引き止める権利ないので強気でいいと思いますよ

いいところに内定しなかったらそのまま現職場にいればいい訳ですし

パートからパートへの転職でしょうか？

私は収入・勤務時間を増やしたいという理由で何度か転職しましたが
２週間程度で辞めましたよ。

家庭の事情で申し訳ないのですが・・・と言えば
たいていは通るのではないでしょうか。
飲食店ならばシフト勤務でしょうか。
シフトの区切りのよいところでいいと思います。

会社が生活の保障をしてくれるわけではないですし
低姿勢できちんと伝えれば問題ないと思いますがいかがですか？