私はSPI3-Gでした。最も回答が厳しい数値入力回答です。
トピ主さんは、疑問を解決する必要はありません。
公式を覚えるのです。そして、練習するのです。これしか
ありません。なぜこの式で解けるか、そんなの数学者に
なるわけでなく、試験に合格するというのが目的ですから
疑問に思うのを止めるべきです。即刻、教本を買い、練習
あるのみです。また性格診断も侮ってはいけません。これは
職業に対する適正を見抜くものであり、いい顔しようと答える
と、バレます。教本にも書いてありますが、性格診断にも正解
があるのです。こちらもきちんと準備しましょう。
これはゲームです。高得点を取ったものが勝ちます。ですから
教本の教えを暗記し、攻略しましよう。

私も不安がありましたが、教本通りにやって、突破しました。
４月から新天地です。トピ主さんも頑張ってください。

5C3＝5！/3！×（5-3！）＝10 とするよりも

5C3=(5×4×3）/(3×2×1）＝10　とするほうが理解しやすいと思う。

分子の5×4×3は5P3を表している。
例えば5人から3人選んでその3人に順位をつけるとすると何通りになるかを考えると5P3で表される。
またここである3人を選んだとき、その中で順位をつけるとすると3P3通りになる。

つまり5人のうち3人を選ぶ場合の数をAとすると

5P3=A×3P3

A＝5P3/3P3＝60/6=10

となる。

これが正しい理解なのかといわれるとわかりませんが直感的にはこういう理解でいいかと思います。

異なる５つのものを並べると５！です。
そこで、表・裏ではなく、全てを区別するとします。
表１、表２、表３、裏１、裏２の５つの出る順番は５！通り
しかし、実際は表の３つが区別できないのでその３つの並び順３！でわる。
同様に、裏の２つ（全５つから表３つを除いたもの）の並び順でわる。
この裏の区別をなくすのが、（５－３）！＝２！ということです。

確率と場合の数は、前者は全てを区別するとして考えることが重要。
後者はおなじ結果となるものは１つに数えるので重複を解消することが重要。

例えば、さいころ２つを投げたときの出目の和は
２～１２の１１通りとなる。これが場合の数。
和が最も出やすいのは和が７となるとき。
これは和が７となるのは、１と６、２と５のように
最も和が７となる組合せが多くあるからですね。

これが、最も簡単に場合の数と確率を区別する例の１つでしょう。

具体的にスピードアップするには、パターン別に解き方・公式を覚えること。
特に積の法則・和の法則の理解を深めることでしょう。
正しいアプローチはたくさんあるが、
最短ルートを用いるにはこの２つの法則の理解が最も重要です。

公式の意味を無視したというか、無理やり逆算したような解答ですね

一番簡単に書くと
5C3=(5・4・3)/(3・2・1)=10通り
もしくは
5C3=5C2=(5・4)/(2・1)=10通り
となります

さらにその解答に近い形にしていくと
5C3=5P3/3!
={5!/(5-3!)}/3!
=[(5・4・3・2・1)/{2・1)}]/(3・2・1)
=10通り
となります

5P3が総当たりの場合の数になります
3!が総当たりの中で重複してる数になります

ここでやはり、5-3!ってなんだよ…ってなるわけですが
これには何の意味もありません
ただ5P3=5・4・3を数式として成立させるためだけの要素です

これは５枚のコインを並べるのと同じことですね。
５枚のコインに番号をつけて左から順番に並べると５！の並べ方があります。
１枚目が５通り、２枚目が４通り、３枚目が３通り、４枚目が２通り、５枚目が１通りで、
５×４×３×２×１＝５！

例えば表３回、裏２回の１つの例として
表、表、表、裏、裏
があります。５枚のコインを区別すると、こういうのが全部で５！通りあるわけです。
この場合表のコインだけ見ると(表１、表２、表３)(表１、表３、表２)(表２、表１、表３)(表２、表３、表１)(表３、表１、表２)(表３、表２、表１)の６通りあります。３！通りということです。
裏のコインは(裏１、裏２)(裏２、裏１)の２通りがあります。つまり２！通りあります。
つまり先に考えた５！の中には３！×２！の重複があるというわけです。重複回数は３！×２！です。だから組み合わせは５！/(３！×２！)となります。

５は投げる回数で正解。３は表の回数、２は裏の回数です。全５回中３回が表なので裏は(５－３)回ですね。２！を(５－３)！と書いてみれば理解できるのではないでしょうか。

数学Aの教科書か参考書を見てください。
その時に自分に分かる書き方をしているものを選ぶことが大切です。
素早い理解の仕方とは結局そう言うことではないでしょうかね？
就職試験、がんばってください

樹形図が簡単で分かりやすいと思います！

　分母は"3!×(5-3)!"です．「コインを5回投げて，そのうち3回表が出る場合の数」の答えは，5!/{5!×(5-3)!}=10通りになります．
　コインを5回投げて3回表が出る現象の起こり方は，
　　　表表表裏裏
　　　表表裏表裏
　　　表裏表表裏
　　　裏表表表裏
　　　表表裏裏表
　　　表裏表裏表
　　　裏表表裏表
　　　表裏裏表表
　　　裏表裏表表
　　　裏裏表表表
の10通りですが，これについては「3個の『表』と2個の『裏』を互いに区別して，表1，表2，表3，裏1，裏2，の5個を1列に並べると考えると，その並べ方は5!=120通りある．しかし実際は，表1～表3及び裏1と裏2の並べ方に区別はないので，それに相当する3!×2!＝3!×(5-3)!=12通りの分は実質1通りになる．従って本来求めるべき場合の数は，5!/{3!×(5-3)!}=10通り」
と考えられます．
　一方確率は「コインを5回投げて3回表が出る可能性」で，これは，上記の場合の数をコインを5回投げた全ケースの数（=2の5乗=32）で除した，10/32=5/16が答えになります．

Ｐ（Ｐerumutaiton）は　順列　
　　例えばですが、左から順に「並べる」イメージ
　　とにかく「順番」が大事。
　　５Ｐ３＝５×４×３
　　　　　＝６０（通り）

Ｃ（Ｃombination） は　組み合わせ　
　　並べるのではなく、「選ぶだけ」のイメージ
　　順番は関係ない。　順列でダブってカウントしたものを、”割ること”で削除するイメージです。
　　５Ｃ３＝５Ｐ３/３！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＝５・４・３/３・２・１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＝１０（通り）

あるいは（トピ主の本文では誤表記でしたが）　　
　　５Ｃ３＝5!/3!(5-3) !
　　　　　＝5・4・3・2・1/3・2・1・2・1

でも同じことです。

「確率」は
ａ（ability）/Ｎ(Number)　 の公式で求めます
　ａ　は、あることがらが起こる場合の数
　Ｎ は、起こり得る全ての場合の数　
この”場合の数”は、ＰやＣを使うことが多いです。　　

Ｕtubeだと音声があって分かりやすいですよ。