ワールドポーターズのような場所を横浜駅近くで…ということでしょうか。
みなとみらい地区を避けるなら

横浜ベイクオーター　（そごうを抜けるか、横浜駅きた東口から。）

桜木町周辺を含めるなら、ランドマーク～クイーンズスクエア～マークイズなど
ショッピングを楽しめる施設は盛りだくさんです。
マークイズに出来た、オービィ横浜、という施設も人気のようですよ（私は未経験ですが）

プールですと、横浜駅からは少し離れます。

日産ウォーターパーク（新横浜、小机駅から徒歩１０～１５分）　
ふれーゆ（鶴見駅からバス）以上２件は室内プールです。

横浜プールセンター（根岸駅から徒歩５分）
本牧市民プール（根岸駅からバス）この２件は屋外です。

お母様とのデート、楽しんできてくださいね。

トピ主さんは１３歳の子供なので、知らないことが沢山あります。
知らないことは学べば良いので、知らないことは恥じなくてよい。と前置きして。

幾つか教えてあげます。
・発言小町は、掲載されるまで時間がかかります。二日後に掲載されることがある。
　私が書いたレスをトピ主さんが見るのは７日を過ぎてる可能性があるのです。
　つまり「来週行きます」なら余裕があるけど「明日行きます」ではお互いに困ります。

＞ショッピングとかするのだと思います
・親子なんですから、お母さんの予定を知りましょう。
　親切なレスを受けてトピ主さんが行くつもりになっても、お母さんの事情がある。
　つまり無駄なトピになるし、レスが無駄になる。

＞ワールドポーターズのような施設、横浜付近にありませんでしょうか？
ワールドポーターズは横浜にあります。（横浜駅付近が正しいのでは？）

横浜駅から「みなとみらい線」に乗車して「みなとみらい駅」まで行き「クイーンズスクエア」で過ごすのは如何でしょう。
「クイーンズスクエア」をインターネットで「検索」してください。