東京西部に行けばあるだろうが厳しいね。

それならば短時間で距離を稼げる路線で遠くの土地を狙うほうがいい。
とすると、現状では総武線快速－横須賀線の直通が現状はベストでしょう。

しかし、３月には東北・高崎線や常磐線も東京駅まで延びるので
それを利用する手もあります。
ただし、東北・高崎線は湘南新宿ラインと分かれるので本数がどの程度か微妙。
常磐線沿線も１つの候補でしょう。

そういった不特定情報で探すよりは総武線快速のように安定した路線のほうがいい。
本八幡～千葉あたりで探せばよいでしょう。
駅はそこそこ栄えており、子供も比較的多い地域。
千葉まで行っても乗り換えなしで東京まで４０分程度。
（東京駅は地下ホームで駅内で改札までの時間は若干かかりますが）

車を使う前提で探すことも手放すことも駅からの徒歩距離や買い物範囲などで
検討することもできます。現状ではベストの路線ではないでしょうか。

その広さで11万だと、練馬区、北区、葛飾区、足立区、江戸川区、
の、埼玉、千葉に近いエリアじゃないと無理ですね。
いっそ、埼玉、千葉エリアで探した方が良いと思います。

東京へ一本で行ける中央線ですが立川、八王子まで行かないと無理ですし、ラッシュが有名な路線ですから大変ですよ。

他に川崎も有りですが…。

もう少し予算を上げた方が良いかと。

＞3ＬＤＫの物件で１１万くらい

管理費込みで１１万円は、１Kや1DKマンションの値段です。

東京駅まで２０分のJR蒲田駅近辺で　３LDKは家賃１６万円です（管理費別）
通勤１時間の距離でも値段は下がらないと考えたほうが良いです。
駐車場は月額２万円を超えます。だから東京は自家用車を持たない人が圧倒的に多い。
自家用車がなくとも困らないと考えても良いです。
トピ主さんは、マンション・一戸建ての賃貸情報ホームページをご覧になり相場を知ってください。

東京の場合、乗り換え二回は、本人にとってとても負担なことです。
田舎と違って、雑踏の乗り換えになる。

＞治安が比較的安定しているところ
歓楽街やギャンブル場が無い場所なら心配無用です。

試しにスーモとかで11万円、通勤一時間以内、3LDK、駐車場ありで検索して見て下さい。
通勤がどこかわかりませんが、私はとりあえず新宿でやってみましたが一件もあがりませんでした。
予算をあげるか、通勤時間を増やすか、部屋数を減らす必要があります。

ご希望の予算でやや埼玉寄りの練馬区大泉学園あたりが可能です。
緑多い住宅地で治安が良く穏やかな土地柄。
スーパーも複数有り　のどかだけど便利で　子育て向きです。
この地区は　公立小・中学校でも荒れは少ないです。
有楽町線と乗り入れがあります。ただ　朝は結構混みます。

都心の都心だと、家賃的には大変かも。

凄く個人的な意見ではありますが、私自身都内・都心近辺で引っ越しを繰り返して気に入っていたのは東急各線沿線です。

その中で特に池上線辺りは、都心にはアクセス良く乗り換えが細かくあっても他所の時よりも苦になりませんでした。
のんびりしたローカルな商店街などがあるのに、都内なのに温泉が点在しているので、そこに住んでからは本当に動きたくなかったです。(笑）
子供がいないので教育環境や学校事情までは分かりませんが、近所のお子さんたちは比較的良いとこの学校に通ってたようです。

私は元々が某温泉地出身の田舎者なので、あの雰囲気が離れがたかったです。
今は残念ながら転勤で別のエリアにおりますが、戻れるなら戻りたい気持ちでいまだに恋しいです。

上記はあくまで個人的な意見でした。

国分寺や三鷹あたりは良いと思います。

私は東京駅からすぐの中央区在住ですが、やはり高い。
ファミリー向けの物件だと軽く30万とかします。
通勤一時間想定なら津田沼とか西船橋とかどうでしょうか。
3LDKで家賃も主さんの想定内位でありました。

津田沼は始発駅だから座って通えるし、快速で30分程度。
環境を重視するならかえって駅から離れたバスで津田沼駅に行くような場所ならさらに安いし、子供にとっても環境は良くなるのでは。

＞3ＬＤＫの物件で１１万くらい（管理費込む）で希望

１６万円以上でないと難しいです。ただし皆無ではありません。古ければ価格が安い。

トピ主さんは、東京の住宅情報・賃貸情報をホームページ検索していますか？
私は改築のために半年間、仮住まいする必要がありました。
この時、１１物件の候補を選んで下見しました。好みに合わない賃貸住宅が多くて愕然としました。
そして３物件に絞って、住民の観察をしました。
出勤時間に出てくる人を見て住民の質を評価した。
郊外の賃貸は駐車場の車で住んでる人の質を評価できた。

トピ主さんは、候補をいくつか定めて、家族で家選びツアーをしたらよです。
東京までは出張用の格安ツアーを使うと良いです。
自家用車の月極駐車場は２万円では無理です。

西武多摩湖線の一橋学園駅の北側から青梅街道駅にかけての地域（小平市）
田舎の雰囲気が好みならいいと思います。
東京駅まで中央線快速利用で１時間以内です。国分寺駅は特別快速が停まりますので、西に偏ってはいますが中央線では最も利用しやすい駅の一つです。
特別な買物は国分寺駅周辺か今秋開業するららぽーと立川（多摩都市モノレール立飛駅前に店舗数２４０程）で。
事故等で中央線が止まっていても、西武新宿線・東西線経由で都心に行けます。
グーグルのストリートビューで西武池袋線の大泉学園周辺と比べてみればいいと思います。