簡単な話、自分で次の転職先を探す。
採用が決まったら、むろん次の就職先には現在在職中ですから１月ほど先の就業開始を約束することになります。
ですから、採用が決まったら今の派遣元にすぐに退職の意向を伝える。
慰留されようが、すでに次の仕事が決まっているので、と言って譲らない。
それだけのことです。
期日が来れば、あなたは退職して新たな仕事に転職するだけです。

繁忙期がどうとか、そういうのはまったく関係ありません。
地球上のどこかで戦争があって誰かが死んでるかもしれないのと同様に、あなたの人生とは無関係です。

「陰口を叩かれるかもしれないこと」と、
「6月いっぱいまで我慢すること」
どちらがしんどいですか？

派遣社員は誰も守ってくれません。
自分の身は自分で守るしかないです。

楽な方を選びましょう。

繁忙期なんて気にすることありません。正社員でもないんだから。
体壊してまで働いても、そのあとは誰も助けてくれませんよ！
自分のことを一番に考えて下さい！

トピ主さんの体調の方が大事です。
無理して更新して体壊しても、派遣先は何もしてくれません。
契約期間途中で限界を超えて辞める方が迷惑にもなるでしょうし、
まだ限界を迎えていない今回の更新のタイミングで辞めるのが良いと思います。

繁忙期だろうが、契約終了とともに辞められるのが契約社員の良いところだと思うのですが。
雇う方もその辺は割り切っていて、けっこうドライじゃないですか？
そんなに針のむしろ状態になりそうですか？
職場では体調不良で実家に帰るので、って申し訳なさそうに言っておけばいいんじゃないでしょうか。

更新したいけどできない事情ができたと、残念そうなポーズしとけばいいですよ。

私なら更新せずに辞めます。
だって派遣ですから。
自分が更新したい、続けたいと思っても切られてしまうリスクがあるのが派遣です。
逆にこちらも更新を断ることができるのが派遣です。

契約途中で辞めることはさすがに気が引けますが
更新するかしないかは自由だと思っています。

派遣先には、派遣会社の営業から
「家庭の事情でどうしても続けられなくなった」とか
「体調が優れず継続が難しい」等、伝えてもらってはどうですか？
それでも嫌味を言ったり辛く当たってくる人がいそうですか？

適当に「私も続けたかったのですが・・・」くらい言って
最終日までやり過ごすしましょう。

派遣って相手先に当たり外れがありますよね。
仕事内容はもちろんですが、「どんな人と一緒に仕事をするか」ということが
一番重要で、こればっかりは入ってみないとわからないですから・・・。

無理をして体を壊しても、派遣先も派遣元も面倒見てくれません。
契約終了まで頑張ったら十分ですよ。
次はのんさんに合う職場が見つかりますように。

4～6月の仕事の契約って、2月末までに
決めておくのが一般的だと思いますが…。
逆に3月に入ってから先方から3月末で終了って
言われたら、困りますよね。

自分から終了の申し出をするなら失業保険の
受給は3ヶ月後からになると思います。

>一人暮らしで生活がかかってるため、
ということなのですが、大丈夫なのでしょうか。

精神的に辛いときに薬で乗り切るのは、
まぁまぁ前向きな手段だと思います。

>忙しい時期に辞めるのってどう思われますか？
派遣でトータル安く上げようとする際に、
3ヶ月更新にしている先方が負うべきリスクです。

しかし、もう満了まで30日切っているのだから、
責任としては(先方から申し出があれば)
延長なのではないかと思います。
また、トピ主さんの生計を心配する見方でも
延長した方がよいとは思いますが、
もしルール的に回避でき、経済的にしのげるのであれば、
トピ主さんの追い詰められっぷりからは、
更新しない方がいいかもしれないですね。

あと、仕事というのは、ダメダメながらも必ず
どうにかなるので(誰かがどうにかするので)
そこは心配ないです。

全然問題ないと思いますよ。

契約満了ですしね。

睡眠薬の原因が何かわかりませんがそこまでして尽くす必要が？

お世話になりっぱなしな状態なら良心も痛みますが
睡眠薬を飲まないと眠れないような状態にまでなってしまってるのに
義理立てする必要はないですよ。

嫌なら更新しないのが派遣ですから。
社員じゃないんだから繁忙期とか気にしなくてよし！

次行きましょ。

辞めればいいのに
そこまで我慢して仕事する意味あるの？