メアドと番号に送るメッセージ（例えばAUだとCメールだったかな？）の差がわかってないのだと思います。
各社番号に送るメールもなんとかメールという名前なので。

アドレス帳にメールアドレスを登録しておきたい。と思いついたのでしょう。

大して深い意味はありません。

普通は電話番号宛のショートメールで事足ります。　

私が携帯端末に送るメールは、ショートメールばかりです。

LINEは使わない。
アドレス帳の個人情報をLINEサーバーに抜き取られたくないからです。（トピ主さんは手遅れ）

メッセージ機能だと文字数限られるし、色々制限があります。
普段はよくても、少し長い文書を送りたい時などの為にメアド聞いているのではないかと思いますけど。

友達少ないし、機会もないのでスマホは持ってますがLINEはやってないです。
スマホでのやりとりはほとんどメールです。
だからお互いの連絡先を交換するときは、電話番号+メールアドレスですね。

アドレスを聞くのは携帯電話時代からのクセみたいなものもあります。
ショートメッセージも使いますが、長文は入らないですし、画像の添付もできない。それからPCユーザーなのでメールの方がなじみが良いのも理由の一つです。

信用できない相手ならば、GMailやYahooメールなどのフリーメールアドレスで予備のアドレスを作っておいて、それを教えれば問題ないのでは。

メールアドレスをどうやって伝えたのかはわかりませんが…。
推測ですが、
メールを送ったが送信できなかった(メアドの聞き間違えや入力ミスなど)→聞きなおすのが面倒くさいからメッセージ送信…とか。

私はスマホは持っていますが、LINEはやっていないのでメアドを聞きますよ。
当然、メールでやりとりはしますけどね。
メッセージ(SMS)は文字数制限があるし、送信料が高くないですかね？
だから、そこそこやりとりをする人にはSMSでメアドを聞いて、その後はメールでやりとりします。

考えてみました。
・メアドを教えてもらうことが自分への信頼度のバロメータになっている
・番号でのメッセージのみ使うのは、使い慣れているため
＞「携帯番号知ってるなら、番号のみで、メッセージできるよ。」と言いましたが…「メアド教えて」らしいです。
このやり取りだけだとSMSはお金がかかる場合があるので、「ムダ金使いたくない」っていう可能性があるんですけど、その後SMSだけで送ってくるのは不可解ですね。

トピ主さんの返信が遅いとか、メール無視しがちだとかではないですか？
それだとSMSを使わざるを得ません。

ちなみに私の場合
LINE：使いません。他の手段を使っています。
SMS（ショートメッセージサービス）：ほぼ使いません。
薄い付き合いの人に電話番号を教えたくない。
電話会社が違うと別途通信料が発生。たかが70文字の為に払う価値がない。
Email：送受信共に別途料金がかからない。扱えるデータ量も大きい。転送も可能。
メールアドレスの変更が容易。

こんな理由からEメールアドレスでやり取りしています。

あくまで推測です。

＞スマホになってから、メアドを人に教えることってありますか？
＞「携帯番号知ってるなら、番号のみで、メッセージできるよ。」と言いましたが…「メアド教えて」らしいです。
SMSは送信料が一通3円です。データ通信料や通話料に含まれません。別料金です。
たかが3円ではありますが、申し訳ないので、Gmailなどのフリーアドレス教えることもあります。

＞メアドにメールは無く、番号のメッセージ機能を使ってきます。 聞いても、回答して貰えず。
トピ主様がもしキャリアのメールアドレスを教えたと仮定した場合ですが、フリーのアドレスから送ったが送信できなかった。
だが、自分はフリーのアドレスしか持っていない、なんらかの事情でキャリアのメールアドレスで送信したくない。

仕事以外場合、相手がメアドを送れないことが多い（入力ミス）ので、逆に教えてもらいそれを送信して返すこと多いです。
相手がフリーのアドレスならフリーのアドレスで返しますし、キャリアメールならキャリアメールで返すようにしています。
ちなみに自分のアドレスがわからないという人も結構います。

　ですが、メールアドレスを紙（若しくはメッセージ）に書いて教えているとしたら、教えた方、教えられた方のどちらか、或いは双方がわずかな間違いをしている可能性もあります。
　それは、小生も経験があります。
　例えば、ピリオッドをコンマと誤認したり、－を＿と誤認するなど、中高年になり老眼が出始めて間違いが多くなるように思います。

電話番号のメッセージ→短文で急ぎ
e-mail→長文、写真付き
e-mailに送ったけど返信が無い（または数日待っても来ない）場合もメッセージで送り直します

電話番号とe-mailの2つ聞くのは使えない時の保険です。
迷惑メールに振り分けられる等届かない事もありますので。

メッセージの方が確実だから普段はメッセージ、って事じゃないでしょうか。

多分、トピ主さんの返信が（相手にとって）遅いのだと思います。
SMSなら端末が光るなどですぐに気づく、メールだと通知に気づきにくい。
端末ごとに違うかもしれませんが、私のはこうです。
少しでも早く返信が欲しいからSMSで送るのでしょう。