（250＋25（Ｘ－1））X＞450Ｘ

です。

数列をある程度一般化して習うのは高校数学ですが、
等差数列に関しては中学受験の受験算数でも習います。

公式を教えても良いのですが、小学生向きの図形化した考え方を教えましょう。
（実際これは、高校数学の積分なのですが、台形の面積として考えられます）

縦に回数、横をダメージ量とすると
３回攻撃した場合、
●●●
●●●●
●●●●●　のような形になります。
上底が１回目のダメージ、下底が３回目のダメージ、高さが攻撃回数です。
初回は250、３回目は350で3回攻撃ですから、(250+350)＊3/2=900がダメージ総量。

ではx回目で考えると、初回が250、x回目は250+50(x-1)となります。
よって、x回でのダメージ総量は{250+250+50(x-1)}*x/2となる。

作られる式は{250+250+50(x-1)}*x/2>450x、整理するとx(x-9)>0という二次不等式になる
数学的には邪道ですが、算数的に言えばxが正の値であることが自明なので
この形の式に限れば両辺を正の数xでわって、x-9>0として考えても良いでしょうね。
x>9から10回目が得られます。

武器Aの破壊力のn回までの和は、
トピ主の言うとおり、450n・・・（Sa式とする）で表すことができる。
対する武器Bの破壊力は、
初項250、等差50のn回までの和で表す事が出来る。
等差数列の和の公式から
n/2×(2×250＋(n-1)50)・・・（Sb式とする）だ。
Sa<Sb　の不等式を解けばよいのだ。n>9が得られる。
数字の事は聞かないでくれ、じんましんが出て来る。

X=1ではY=0、X-2ではY=1、X=3ではY=1+2、X=4ではY=1+2+3
となるようなYを等差数列と言います。ここでは差は1です。
この解はY=X*(X-1)/2です。差が50であればこの50倍ですから
等差数列の部分の和は25*X*(X-1)となります。
従って全体では250*X+25*X*(X-1)がX回攻撃後に
Bの与えたダメージの合計となります。
一方Aの与えるダメージは450*Xですので、
450*X=250*X+25*X*(X-1)となる攻撃回数Xは
450=250+25*X-25より25*X=225となり、
9回目の攻撃で両者のダメージが等しくなります。

x-1
■(250+50k)>450x
k=0

これを解くと25x^2+225x>450x
従ってx<0,9<x
題意よりxは正の整数なので答えは10です
ちなみに9ではＡとＢは同じ値なので越えてはいませんので間違いです

１回目のダメージが２５０
２回目のダメージが３００
・・・
X回目のダメージが２５０＋５０（X－１）
これが蓄積されるわけですからからトピ主さんの不等式では解けません。
これは初項が２５０、公差が５０の等差数列なので
Ｘ番目の項は２５０＋５０（Ｘ－１）
蓄積されたダメージ＝初項から第Ｘ項までの和
＝[項数×（初項＋第Ｘ項）]÷２
となります。
すなわち
Ｘ[２５０＋２５０＋５０（Ｘ－１）]／２
となる訳です。
カッコ内をまとめると
＝Ｘ（２５Ｘ＋２２５）
となります。
ここで初めて不等式の出番となるわけです。
Ｘ（２５Ｘ＋２２５）＞４５０Ｘ
Ｘは０ではないので両辺をＸで割り、整理すると
Ｘ＞９
となりＸは整数なので１０回目が正解となります。
（９回目では並ぶだけで越えていません。１０回目が正解だと思います）

　あおいさんの式では、Ｂは450ＸとＸ回のダメージを合計しているのに、Ａの方はＸ回目のダメージしか表しておりません。
　正しい式は、
　250Ｘ＋50(1+2+3+…+Ｘ-1)≧450Ｘ
です。ここで上のかっこの中は1からＸ－１までの自然数の和なので
(Ｘ－１)Ｘ／２となります。
　Ｘ＝９のとき、これは（９－１）・９＝８・９＝３６なので、上の式は
250・9＋50・36＝2250＋1800＝4050となります。
　ただ、問題は「超えるのは」なので、１０回目ですね。

　なお、上の式は2次不等式となり、整理すると
　Ｘ（Ｘ－９）≧０
　となり、解は、０≧Ｘ、Ｘ≧９となり、問題の趣旨からＸ≧０なのでＸ≧９
　ですが、「超える」のはＸ＝１０となります。
　

提示された数式を利用すると、
■｛250+50（X-1）｝＞■450
■（50X+200）＞■450
50ｘ1/2n(n+1)+200n>450n
25n2+225n>450n
25n2-225n>0
25n(n-9)>0　から求めるとと
nは10回以上になる

nの後ろの2は肩に乗るべき乗数です
数式とみなしてください

武器Ｂの１回目からｎ回目の合計値の数式を示します。

武器Ｂのダメージは等差数列になっています。
１回目が２５０で、５０ずつ増えていく。
つまり、２回目は３００＝２５０＋５０、
　　　　３回目は３５０＝２５０＋５０＊２
　　　　４回目は４００＝２５０＋５０＊３であるので、ここまでの規則性を読み取ると
ｎ回目は２５０に５０を（ｎ－１）回足せばよいとわかるため、
ｎ回目のダメージは２５０＋５０（ｎ－１）＝２００＋５０ｎ　となります。

よって１回目からｎ回目までの合計値は
（２００＋５０）＋（２００＋５０＊２）＋（２００＋５０＊３）＋・・・＋
（２００＋５０＊ｎ）となります。
そこで２００と５０を分けて考えます。

２００は全部でｎ回出てくるので、その合計値は２００ｎ

５０は全部で　１＋２＋３＋・・・・＋ｎ回出てきます。
１からｎまでの整数の和は１/２＊ｎ（ｎ＋１）となりますので、
５０の部分の和は５０＊１/２＊ｎ（ｎ＋１）＝２５ｎ（ｎ＋１）です。
したがって、武器Ｂの合計値は
２００ｎ＋２５ｎ（ｎ＋１）＝２５ｎ＾２＋２２５ｎとなります。

武器Bが与えるダメージは
250,300,350,400・・・・と「初項250、項差50の等差数列」になっています。

等差数列の第１項から第n項までの和の公式はSn=1/2n(初項＋末項)です。

従ってn回目までに武器Bが与えるダメージの合計＝1/2n〔250+{250+50(n-1)}〕

武器Ｂの与えるダメージの合計が武器Aの与えるダメージの合計を超えるときをn回目とすれば
1/2n〔250+{250+50(n-1)}〕>450n

これを整理するとn(n-9)>0
これを解くと　n<0又はn>9

nが自然数であることを考慮するとn=10,11,12・・・・となります。
答えは9ではなくて「10回目」だと思います。

※9回目は武器Bの与えるダメージと武器Aの与えるダメージが「等しい」ときであり、まだ「超えてません」