トピ主さんは、その男性がだんだん柔軟な対応が当たり前のようになっていることに気がついてるのですね。
そのとおりです。
お礼を言わないのは心の中で「当たり前！」と言っているからです。
トピ主さんは「いいように使われてる」のです。
もうすでにお気づきではないですか！

お礼を言ってもらうことを考えるより仕事を断ることを考えるべきではないですか？
相手がだんだん当たり前のようになってきたように、
だんだん頼まれ仕事を減らしていって気がついたらゼロにする、
愛想だけは良くして、ね。

在米です。お礼を言うべき場面で言わない人がいると、「You are welcome」って
言っている人を稀に見かけます。私も1回だけですが、もらった品に気を取られて、
夢中になっていた時に、夫に「You are welcome」って言われて、爆笑しつつ
お礼を言いました。そう言う風に言われても嫌味に思えなかったんですよね。
というか、むしろ自分の非礼を面白おかしく指摘されて、笑えました。

もちろん人によって受け取り方は違うでしょうが、仕事を引き渡すときなどの、
お礼を言う間合いの時に「どういたしまして。」って言えば良いのでは？？

そうすれば相手は「お礼を言っていなかったな。」って、普通気づきがあると
思うのですが…これで気分を害する人がいるとすれば、相当狭量な人だと思います
ので、今後は仕事をあまり引き受けないようにしていけば良いのでは？

依頼される仕事は、トピ主の業務の範疇ですか？
そうであれば単に他部署からの依頼として扱われ、礼を言うことを求めるのは難しいかもしれません。
担当業務外のことを対処しているのであれば一言あって然るべきですね。
この場合、礼を言わせる方法を考えるのではなく、徐々に断る方向に持っていった方が良いでしょう。
「本来の担当業務が忙しい」など、無難な理由をつけて。

私は仕事でホームページから自社製品に関する問い合わせをしてきた客先対応をしていますが、
時間をかけて丁寧に回答しても礼を言う人は一割もいません。
ほとんどの人が自分の必要な情報を得たらそれっきりです。
初めは違和感を感じましたが、人間なんてそんなもんです。
また、個人的な趣味(カメラ、写真撮影)を自分の業務(微小製品の拡大画像)に活用できる場面があるので、仕事のアウトプットに付加価値を付けようと思って帰宅後の時間を使うこともありますが、
他部署からは「製品画像あんだろ？すぐくれよ」と当然のように思われています。
レンズやその他機材など、全て自腹で賄っているにも関わらずです。
相手に何かを求めるから不満や苦しさが生じるのです。

トピ主さん、根本的に間違ってますよ。

その【手伝い】と思っている仕事も会社の業務。

トピ主さんのお給料の内。
代価は会社が払ってくれてます。
一々、お礼を求めるのは違うんじゃないですか？

単に感情論ですよね。

トピ主さんが断れば、他の人に依頼するだろうし、トピ主さんより忙しいその男性の方が余計に苦労して会社の業績が少し悪くなるだけ。

断りたければ断れば？

隣部署なんだから、主さんの仕事ではないですよね。

「私も、柔軟にこれまで対応してきたけど、
この仕事は私の仕事ではないと思うんですよ。
同じ部署の方に頼まれたらどうですか？」

と断る。

そしたら、仕事じたいが回ってこないのだから
お礼を言われなくてモヤモヤすることは
なくなると思いますよ。

お礼？？？？
給料貰ってないの？？仕事だよ、仕事。

お気持ちお察しいたします。
気分悪いですよね。

同じような人を知っています。
私の知人女性もそんな感じです。
普段のやり取りで、「お世話になりました」すらありません。
我が家に招いてご馳走しても「たのしかった」だけです。
私たちが家族とお邪魔してお礼のメールをしても「こちらこそ、来てくれてありがとう」ともありません。
気分は決していいものじゃありませんよね。というか、「言え！」って感じです。
でもそういう人って、そういう親の元に育っているんだと思います。お礼をいう家庭に育たないと、親の姿見て育っていますからね。
かわいそうな人と思うしかないかもしれません。

小さな会社やチームだと、自分の仕事はこれだけって限定せずに、色々やらなきゃいけないのは確かですけど、厚かましい人は増長するだけですよ。

その１
隣の部署にはもちさんのような雑務を担当する人はいないんでしょうか？いれば「まずはその方にお願いして」って言ってみる。。。というのはハードル高いですかね？
その２
今、「自分の部署の仕事」で忙しいから明日以降ならいいですよ、と後回しにすることで、あなたの依頼は本来私の仕事じゃないアピールをする。
これにプラス、後回しにしてやらないというオプションもあります。その場合はいつまでにやると約束しない、できるときにやると言っておくのが肝要です。
いずれも結構有効です。相手の仕事が急ぎであればあるほど、「そこを何とかお願い！」となります。
その３
お願いごとを持って近づいてくる気配を感じたら席を立っちゃう。思い切って接点を持たないようにする。
勝手に机に置いてく人もいますが、その場合は相手の席に置き返す（経験アリ）＋その２を実行する。

そういう人は態度を改めてお礼を言うどころか、ムッとされるのがオチかと思われます。
ご愁傷様です。

こういう人に「察して」は無理でしょう？
そういう気持ちがあれば、すでに言っていると思います。

お礼を言ってほしいのであれば、やらなければいいのでは？
そもそも、お礼と言う見返りを求めるようになった時点で
成り立たなくなるわけですから
はっきりと、「やってあたリまえだと思ってます？」とか
相手に伝わるような言いかたをしなければ無理でしょうね。

自分で言えないのであれば、見返りを求めず
今まで通り仕事として割り切り
会社のためと貢献するか。

はたまた、「忙しいので無理です」とはっきり断るか。

なんにせよ、ご自分で行動を起こさなければいけないと思いますよ。

ほかの社員の方に「感謝されなくて～」とか愚痴って
遠まわしにほかの人から注意してもらおうなどと
いい人ぶるやり方はどうかと思います。

隣の席の同僚かと思ったら、他部署の人間なんですね。
頼まれ事の内容がトピ主さんのメイン業務ならともかく、違う仕事や雑用なら勝手に受けては駄目なんですけどね。
本来他部署に仕事を依頼する為には、自分の上司に報告して上司から相手部署の上司に連絡して相手部署の上司から担当者に実行して貰うという流れなので、とりあえず自分の上司にソフトに相談でしょうか？

タイトルにも書きましたが、相手はいつもトピ主が普通に受けてくれるのでトピ主がやって当たり前・それがトピ主の仕事だと思っているのです。
人間という生き物は、最初はありがたいと思っていても慣れてしまえば"普通"、むしろ当然になってしまうのです。
多分直接物申すと「手足が文句を言うな」と生意気扱いされますよ。

でもまぁ…自分の業務だとしてもお礼を言って貰えると嬉しいですよね。
私は相手に何か聞いたり頼んだ時は、それがどんな事であっても「ありがとう」と伝える事を忘れないよう心がけてます。