お子さん、心配ですね。

5歳の子どもさんのアクシデントは突発的なことなので、
いたしかたないことだと思います。
派遣営業に、障害がある子とは別の子が怪我してしまい
1か月ぐらい面倒を「見ないといけない」。
契約どうしましょう？と、
派遣先の担当者さんに「相談」してください。
とお願いするのがいいかなぁ。

態度を変えた派遣営業は、まだ未熟なので
スタッフのやむを得ない状況を
思いやることができないのではないかと…
（すみません、担当者が新年から変わったんですか。
だったらビジネスライクに話したらいいかと）

話がこじれてしまうなら、営業の上司、
あるいは派遣先の担当者さんに先に話してみては？

お大事にしてくださいね。

あなたは派遣会社の営業の方や派遣先の上司の方と契約しているわけではないですよ。変わったって相談しなきゃ。
場合によっては他の方を手配してもらわないといけないかもしれないし。
お仕事を手放したくないかも知れませんが、会社に損失を与えてはいけませんし、そんなデメリットまで含んでの派遣です。仕方ないでしょう。

似た境遇です。

子供ではなく私自身が発病したのですが。

結論から言うと、辞めました。

診断書を出して一発です。

なのでトピ主さんも、

●お子さんの診断書を提出する。

（診断書には、怪我の名称、治癒までの見通し期間、を記載していただく。）

●診断書に基づいて、自分が休む必要がある事を派遣会社に伝える。

●派遣営業から派遣先企業へ伝えてもらう。

私の場合は、1か月休みたいと伝えて、派遣先企業が休んでいる間に代わりの人員を求めたので、
これを機に辞めました。

もともと嫌な職場だったので、神様の采配かと思ったくらいのタイミングで即座にやめることが出来ました。

1か月他の人に入ってもらっても、慣れるわけないし、荒らされるのが目に見えてるし、そんなぐちゃぐちゃなところをまた苦労して引き継ぎ直しても、3月の年度末で契約更新なしで終わる話なので、この際に辞めました。

主さんは継続希望かも知れませんが、いづれにしても話しはきちんと証拠（診断書）を添えてきっちり進めましょう。