何で職場なんか紹介するかな～自分の居場所に面倒な人招くなんて・・

＞私はどう対処したらいいのでしょうか？


今のままでいいじゃない。
空気が悪くなったら「なんか、すみません・・・」って感じでやっておけば
職場の人も「いやいいのよ、お姉さんがあれじゃ仕方ないから・・お気の毒ね・・」って思ってくれるんじゃないかな。
その程度でいいですよ。
２人の関係が悪いことくらい周りはわかってますから。
なんか。すみません。。。こんな感じで。。

こういう態度で大丈夫です。

大人の対応ができてる方が評価は上がりますね。
実姉さんがそういう態度なら、あくまでも職場の先輩としてビジネスライクに対応する以外にないのでは？
結構周りは見てると思いますよ。

>>今度はあちらから仕事の質問のラインがきたり、あまりにも不快なラインをしてきたりして、最初はスルーしてきたのですが、

不快なラインはともかく仕事の質問のラインすらスルーしていたのですか?
私が姉の立場ならあなたに底意地の悪さを感じます。
姉妹ならあなたに不快に思うラインを贈るかもしれません。
仕事を紹介しておいて、仕事内容の質問をスルーってひどいと思う。
そういうことを平気でしておいて何が「ガツンとメールで自分に気持ちを伝えた」って説得力ないですよ。
ガツンと言える立場でもない。

>>電話しても出てくれません。今はラインをブロックされています。
最初に仕事の質問すらスルーしたのは貴方でしょう。
今さら文句は言えないのでは？

>>仕事の場ですから、毅然として「挨拶」などをしていて大人としてのマナーをしていこうと思います
そんなの当たり前です。
そもそもあなたが無視されて当然のことをしたわけですから、
相当な時間をおいて姉が落ち着いたら謝罪すべきですよ。

文章の端々からあなたの「私は仕事を紹介てやって無職の姉を助けてやった」という恩着せがましさがにじみ出てます。
お姉さんは貴方に頼ったことを後悔しているでしょうね。
食べるために働き続けているとしても相当な葛藤があると思いますよ。
姉妹なのに、そういう気持ちに対する思いやりがないのですね、あなた。
それともそういう気持ちを分かった上で姉に対して仕事の質問無視など底意地の悪い対応をしていたのでしょうか？
「大人のマナー」とか口達者におっしゃってますが、私は説得力を感じません。
まるで「仕事を親切に紹介してやったのに、理不尽な態度を取られてかわいそうな私！それでも『大人のマナー』を忘れない私！」という感じですが
客観的に自分の言動を顧みたほうがいいです。
周囲の人もお姉さんだけが一方的に悪いとは考えていないと思います。

４０代でこの有様はみっともないですね。

今後は職場のモラルを乱さないよう、常識的に振る舞いましょう。仕事の質問にはきちんと対応することです。

あと、姉の悪口や愚痴は封印すること。

周りの雰囲気を悪くしたなら「気を使わせてしまって申し訳ありません」と都度謝る、配慮してくれた人には「ご配慮、ありがとうございます」と感謝を述べることです。

人は比較することで他者を評価するものですから、あなたとお姉さんは常に比較されていることをお忘れなく。挨拶、立ち居振る舞い、言葉遣い、気遣いにはくれぐれも気をつけて。

より常識的に、理性的に振舞うほうに周囲の同情も集まりやすくなるし、理解も得られるんじゃないかな。