12年前に日本語教師になりました。
養成学校に通っている時、先生に将来は海外で教えたい旨を相談したところ、大卒資格を取りなさいと言われました。
高卒だった私は、先生の勧めのまま放送大学に入り4年で卒業しました。
現在、家庭の事情で海外ではなく、日本で教えています。
もちろん大卒資格がなくても教えられる場所はあると思いますが、先生曰く「ちゃんとした日本語学校」で教えたければ・・・ということです。

外国で働くには、現地国から「働いてもいいですよ」という許可をもらわなければなりません。それが「就労ビザ」です。「就労ビザ」と「日本語教師の資格」はまったくの別物です。資格があっても現地国の就労ビザがなければ働くことは（そして住むことも）できません。

トピ主さんはおそらく、引っ越せば働けると考えているのでしょうが、それは日本国内のみの話です。外国に住むだけでも、「住んでもいいですよ」という現地国からの「滞在許可証」が必要になります。観光客は住むわけではないので、必要ありません（もちろん、旅行先によっては、「観光ビザ」が必要になりますが）。

トピ主さんはもしかして、台湾（？中国？）国籍もお持ちですか？その場合は、当然ながら就労ビザは不要です。

大学に通わずにビザを取得できる方法があるかどうか、調べてみればどうですか？

どちらにしても、日本国籍しか持っていないのであれば就労ビザは絶対に必要です。取得せずに観光客として入国し、そのまま違法滞在した場合どうなるかは、日本に違法滞在している外国人の様子（強制送還など）を見れば、わかると思います。

でも、日本語教育能力検定試験に合格している方が圧倒的に有利です。

台湾の平均的月収は日本円に換算して約１５万円程です。
生活の方法次第ではありますが、月収が１０万を下回ると一人暮らしは厳しいと言われています。
食費は安いけど家賃は高いですからね。

で、無資格の日本人が台湾で教師をする。
日本でのイメージになぞらえると、駅前留学のバイトの先生といった感じです。
私の知っている方は、無資格で約９万円程の収入なんだそうです。
ただ、彼女は大卒。
台湾は意外に思われるかもしれませんが、超高学歴社会です。
（普通科高校の大学進学率は日本→60％程度、台湾→90％以上）
専修学校出のトピ主さんが雇ってもらえるか？という点が最大の疑問。

日本語教育能力検定試験に合格している方は、台湾の正式な教育機関でも働けますし、駅前留学的な学校でも、ちゃんと履修コース全部を任されるので、収入はポンとハネあがり、台湾の平均を超える１７万円以上の収入になります。

就業ビザについては大卒の必要はありません。
専門学校卒以下の場合は５年以上の就業実績があればＯＫ。
但し、現在のお仕事と類似の仕事でないといけません。
今の仕事は何ですか？
まずは類似の仕事先をみつけて、就業ビザを申請するのが一般的。
最初に書いた女性は旅行会社から台湾に派遣され、台湾が好き過ぎて帰国命令を蹴って退職して、それから転職しました。

居留ビザについては詳しくないのですが、お母様が台湾国籍なら、よりを戻したお父様を呼び寄せて、何らかのビザを発行してもらっているはずですよね？
大抵の場合、その子女も認められることが多いので、そちらの線から調べてみてはいかがでしょうか？
どの国でも、親子が共に暮すことについてはハードルが低いものです。